АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные законы распределения

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  2. I.3. Основные этапы исторического развития римского права
  3. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  4. II. Основные задачи и функции
  5. II. Основные показатели деятельности лечебно-профилактических учреждений
  6. II. Основные проблемы, вызовы и риски. SWOT-анализ Республики Карелия
  7. IV. Механизмы и основные меры реализации государственной политики в области развития инновационной системы
  8. VI.3. Наследственное право: основные институты
  9. А) возникновение и основные черты
  10. А) ОСНОВНЫЕ УСЛОВИЯ ВЕРНОЙ ПЕРЕДАЧИ СЛОВ, ОБОЗНАЧАЮЩИХ НАЦИОНАЛЬНО-СПЕЦИФИЧЕСКИЕ РЕАЛИИ
  11. АДАПТАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ К ЭКСТРЕМАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ СРЕДЫ
  12. Акмеизм как литературная школа. Основные этапы. Эстетика, философские источники. Манифесты.

В данном параграфе рассмотрим основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин, используемых для построения теоретико-вероятностных моделей реальных технико-экономических явлений.

Для дискретных распределений укажем следующие основные позиции:

1) определение;

2) ряд распределения;

3) формулы для вычисления числовых характеристик.

4) область применения.

 

9.1. Биномиальный закон распределения.

1) Определение 28. ДСВ Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения 0, 1, …, , …, с вероятностями

(9.1)

где , .

2) Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

 

0    

 

3) , ,

4) Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и других областях.

 

9.2. Равномерный закон распределения (для ДСВ).

1) Определение 29. ДСВ Х имеет равномерный закон распределения, если она принимает значений с равными вероятностями = .

2)Ряд распределения равномерного закона имеет вид:

3) , , .

Заметим, что матожидание является просто средним арифметическим значений случайной величины, а формула для вычисления дисперсии довольно громоздка, легче считать по формуле из свойства 4 дисперсии.

 

9.3. Закон распределения Пуассона.

1) Определение 30. ДСВ Х имеет закон распределения Пуассона с положительным параметром , если она принимает значения 0, 1, …, , … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

. (9.2)

2) Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

 

0    

 

3) , , .

4) По закону Пуассона распределены число рождений четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы, число требований на обслуживание, поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания и др.

 

9.4. Геометрическое распределение.

1) Определение 31. ДСВ Х имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения 0, 1, …, , … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

, (9.3)

где , .

2) Ряд геометрического распределения имеет вид:

 

     

 

ДСВ Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

3) , .

 

9.5. Гипергеометрическое распределение.

1) Определение 32. ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, min(n, M) c вероятностями

, (9.4)

где , , - натуральные числа.

3) , . (9.5)

4) Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочного обследования и др.

Теперь разберем основные законы распределения НСВ. Для непрерывных распределений укажем следующие основные позиции:

1) определение и плотность вероятности ;

2) функцию распределения ;

3) графики этих функций;

4) вероятность попадания в интервал ;

5) формулы для вычисления числовых характеристик;

6) область применения.

 

9.6. Равномерный закон распределения.

1) Определение 33. НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [ a; b ], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне него, т.е.

=

2) Функция распределения СВ Х, распределенной по равномерному закону, есть

=

3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис. 3(а,б).

а)

б)

Рис.3.

 

4) ;

5) ; .

6) Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненном этому закону.

9.7. Показательный (экспоненциальный) закон распределения.

1) Определение 34. НСВ Х имеет показательный закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид:

=

 

2) Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, есть

=

 

3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис.4.

Рис.4

 

4 )

5) , , .

6) Показательный закон распределения играет большую роль в теории надежности и теории массового обслуживания.

 

9.8. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Этот факт доказан в теореме Ляпунова, понятие о которой мы сформулируем позже.

1) Определение 35. НСВ Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

= (9.6)

Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если какой-либо признак подчиняется другому закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим признаком.

2) Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, есть

= , (9.7)

где - интегральная функция Лапласа.

3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис.5 (а, б).

 

а)

б)

Рис.5.

 

4 ) (9.8)

5) Математическое ожидание СВ Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, а дисперсия – параметру , т.е.

М(Х)= , D(X)= .

При изучении нормального закона, в силу его исключительности, немного отступим от нашего плана, заявленного перед п.9.6.

6) Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания вычисляется по формуле:

. (9.9)

7) Правило «трех сигм». Хотя при нормальном распределении СВ. Х , практически все значения СВ находятся в интервале . Докажем этот факт. По формуле (9.9)

.

Вывод: если известно, что практически всегда нормально распределенная СВ Х принимает значения из некоторого конечного интервала, то , а середина этого интервала есть параметр .

Замечание 13. Понятие о теореме Ляпунова.

Если имеется очень большое количества линейно-независимых НСВ и каждая из них ничтожно мало влияет на другие и имеет ограниченное математического ожидание и дисперсию, то распределение суммы всех этих величин стремится к нормальному, если количество всех этих величин стремится к бесконечности.

 

Пример 9.1. Полагая, что рост взрослых мужчин есть нормально распределенная СВ Х с параметрами =173 и =36, найти:

1) выражение плотности вероятности и функции распределения ;

2) долю костюмов 4-го роста (176-182 см) и 3-го роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства.

Решение. 1) По формулам (9.6) и (9.7) запишем

=

= .

2) Найдем вероятности попадания в интервалы (176-182 см) и (170-176 см) по формуле (9.8)

.

Вывод: костюмы 4-го роста должны занимать в производстве примерно 24%, 3-го роста – 38%.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)