|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Основные законы распределенияВ данном параграфе рассмотрим основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин, используемых для построения теоретико-вероятностных моделей реальных технико-экономических явлений. Для дискретных распределений укажем следующие основные позиции: 1) определение; 2) ряд распределения; 3) формулы для вычисления числовых характеристик. 4) область применения.
9.1. Биномиальный закон распределения. 1) Определение 28. ДСВ Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения 0, 1, …, , …, с вероятностями (9.1) где , . 2) Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
3) , , 4) Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и других областях.
9.2. Равномерный закон распределения (для ДСВ). 1) Определение 29. ДСВ Х имеет равномерный закон распределения, если она принимает значений с равными вероятностями = . 2)Ряд распределения равномерного закона имеет вид:
3) , , . Заметим, что матожидание является просто средним арифметическим значений случайной величины, а формула для вычисления дисперсии довольно громоздка, легче считать по формуле из свойства 4 дисперсии.
9.3. Закон распределения Пуассона. 1) Определение 30. ДСВ Х имеет закон распределения Пуассона с положительным параметром , если она принимает значения 0, 1, …, , … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями . (9.2) 2) Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:
3) , , . 4) По закону Пуассона распределены число рождений четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы, число требований на обслуживание, поступивших в единицу времени в систему массового обслуживания и др.
9.4. Геометрическое распределение. 1) Определение 31. ДСВ Х имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения 0, 1, …, , … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями , (9.3) где , . 2) Ряд геометрического распределения имеет вид:
ДСВ Х, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода. 3) , .
9.5. Гипергеометрическое распределение. 1) Определение 32. ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, M, N, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, min(n, M) c вероятностями , (9.4) где , , - натуральные числа. 3) , . (9.5) 4) Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приемочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочного обследования и др. Теперь разберем основные законы распределения НСВ. Для непрерывных распределений укажем следующие основные позиции: 1) определение и плотность вероятности ; 2) функцию распределения ; 3) графики этих функций; 4) вероятность попадания в интервал ; 5) формулы для вычисления числовых характеристик; 6) область применения.
9.6. Равномерный закон распределения. 1) Определение 33. НСВ Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [ a; b ], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне него, т.е. = 2) Функция распределения СВ Х, распределенной по равномерному закону, есть = 3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис. 3(а,б). а) б) Рис.3.
4) ; 5) ; . 6) Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненном этому закону. 9.7. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. 1) Определение 34. НСВ Х имеет показательный закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид: =
2) Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, есть =
3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис.4. Рис.4
4 ) 5) , , . 6) Показательный закон распределения играет большую роль в теории надежности и теории массового обслуживания.
9.8. Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Этот факт доказан в теореме Ляпунова, понятие о которой мы сформулируем позже. 1) Определение 35. НСВ Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид: = (9.6) Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если какой-либо признак подчиняется другому закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим признаком. 2) Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, есть = , (9.7) где - интегральная функция Лапласа. 3) Кривая распределения и график функции распределения приведены на рис.5 (а, б).
а) б) Рис.5.
4 ) (9.8) 5) Математическое ожидание СВ Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, а дисперсия – параметру , т.е. М(Х)= , D(X)= . При изучении нормального закона, в силу его исключительности, немного отступим от нашего плана, заявленного перед п.9.6. 6) Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания вычисляется по формуле: . (9.9) 7) Правило «трех сигм». Хотя при нормальном распределении СВ. Х , практически все значения СВ находятся в интервале . Докажем этот факт. По формуле (9.9) . Вывод: если известно, что практически всегда нормально распределенная СВ Х принимает значения из некоторого конечного интервала, то , а середина этого интервала есть параметр . Замечание 13. Понятие о теореме Ляпунова. Если имеется очень большое количества линейно-независимых НСВ и каждая из них ничтожно мало влияет на другие и имеет ограниченное математического ожидание и дисперсию, то распределение суммы всех этих величин стремится к нормальному, если количество всех этих величин стремится к бесконечности.
Пример 9.1. Полагая, что рост взрослых мужчин есть нормально распределенная СВ Х с параметрами =173 и =36, найти: 1) выражение плотности вероятности и функции распределения ; 2) долю костюмов 4-го роста (176-182 см) и 3-го роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства. Решение. 1) По формулам (9.6) и (9.7) запишем = = . 2) Найдем вероятности попадания в интервалы (176-182 см) и (170-176 см) по формуле (9.8) . Вывод: костюмы 4-го роста должны занимать в производстве примерно 24%, 3-го роста – 38%. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |