Вынужденные колебания

Если свободные механические или электромагнитные колебания тела происходят в среде без сопротивления, то они называются собственными колебаниями, а их частота - частотой собственных колебаний. При наличии сопротивления период колебаний увеличивается, а если сопротивление достаточно велико, движение перестает быть периодическим, и колебания постепенно затухают.

Затухающими называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных гармонических колебаний обусловлено действием сил трения и других сил сопротивления. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний системы имеет вид:

d²s/dt² + 2δds/dt +ω₀²s = 0 (3.1)

где s - колеблющаяся величина; δ = const - коэффициент затухания; ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при δ = 0).

Амплитуда затухающих колебаний при малых затуханиях убывает с течением времени по закону: A(t) = A₀e^-δt , где A₀ -начальная амплитуда колебаний в момент времени t = 0, определяемая начальным запасом полной энергии колеблющегося тела. Если сила трения пропорциональна скорости колебаний v, т.е. F_тр = -rv, где r - коэффициент трения, то δ = r/2m, m - масса тела. Решение уравнения (3.1) при малых затуханиях

s = A₀e^-δt cos(ωt + φ) (3.2)

где ω = √ω₀² + δ² - циклическая частота затухающих колебаний. Она показывает, сколько раз за π секунд колеблющееся тело проходит через положение равновесия. Промежуток времени τ = 1/δ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются значения физических величин, характеризующих такие колебания. Поэтому к затухающим колебаниям неприменимы понятия периода и частоты, введенные для периодических колебаний.

Условным периодом Т затухающих колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными состояниями колеблющейся системы, в которых физические величины, характеризующие колебания, принимают аналогичные значения, изменяясь в одном и том же направлении, убывая или возрастая. Период затухающих колебаний вычисляется по формуле:

Т = 2π / √ ω₀² – δ². (3.3)

При большом трении (δ>ω₀) не происходит затухающих колебаний. Система, выведенная из положения равновесия какими-либо внешними силами, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия апериодически. При этом запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия расходуется на преодоление трения.

Если A(t) и A(t +T) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: A(t) / A(t +T) = e^δT называется декрементом затухания, а его логарифм
θ = ln A(t) / A(t +T) = δT = T/τ = 1/N называется логарифми-ческим декрементом затухания и используется для характе-ристики колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T:

Q = 2π W(t) / W(t) – W(t+T).

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды A(t), то:

Q = 2π A² (t) /(A² (t) - A² (t+T)).

При малых значениях логарифмического декремента затухания (θ <<1): Q = π/θ = πN = ω₀ /2δ.

Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени. Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Сила F(t), вызывающая вынужденные колебания, называется возмущающей (вынуждающей) силой.

Здесь мы рассмотрим вынужденные колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Если возмущающая сила F(t) изменяется гармонически по закону F(t) = F₀ cosωt, где F₀ – амплитуда возмущающей силы, а ω – ее циклическая частота, то в системе, на которую действует такая сила, могут установиться вынужденные колебания, которые являются также гармоническими, происходящие с циклической частотой, равной частоте ω возмущающей силы, и описываются уравнением:

x = Acos(ωt + φ₁).

Здесь A - амплитуда вынужденных колебаний физической величины (например, смещения), φ₁ - разность фаз между вынужденными колебаниями x и силой F(t).

Амплитуда A установившихся вынужденных колебаний определяется по формуле:

A = F₀ /(m √(ω₀² – ω²) + 4 δ² ω² ),

где m - масса колеблющейся системы.

Если частота ω вынуждающей силы стремится к частоте ω₀ собственных колебаний осциллятора, то амплитуда A вынужденных колебаний, очевидно, неограниченно возрастает (см. рис.3.1). Это явление называется резонансом. При резонансном значении ω = ω₀ вынуждающей силы результирующие колебания растут неограниченно - их амплитуда растет как линейная функция времени.

Рис. 3.1.

Явление резонанса играет важную роль в приложениях. Так, конструкции зданий, мостов, плотин, двигателей, механических передач и т. д. подбирают так, чтобы собственные их частоты лежали далеко от частот характерных внешних воздействий. В противном случае возможно разрушение.

Легко видеть, что вынужденные колебания линейного осциллятора, вызванные внешней силой очень большой частоты, имеют малую амплитуду (рис.3.1). Это свойство колебательных систем называется фильтром высоких частот (осциллятор почти "не пропускает" высокочастотные возмущения).

Поиск по сайту: