Энергия и импульс световых квантов

Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и химических свойств тела, называется тепловым излучением.

Тепловое излучение тел, находящихся в термодинамическом равновесии, называется равновесным излучением или температурным. В термодинамическом равновесии тепловое излучение, тел компенсируется поглощением такого же количества энергии падающего на него излучения.

Лучеиспускательной способ­ностью Е(v,T) тела называется энергия электромагнитного излучения _изл, испускаемого с единицы площади поверхности тела за единицу времени в интервале частот от до . Таким образом

(13.1)

Лучеиспускательная способность в системе СИ выражается в Дж/м².

Для спектральной характеристики поглощения электромагнитных волн телом вводится понятие поглощательной способности тела . Поглощательная способность показывает, какая доля энергии , падающей на единицу площади поверхности тела за единицу времени в интервале частот от до поглощается телом, т.е.

(13.2)

Как поглощательная, так и лучеиспускательная способности твердого тела зависят от частоты излучаемых или поглощаемых волн, от температуры тела, от его химического состава и состояния поверхности. Если тело полностью поглощает падающую на него энергию электромагнитного излучения при любой температуре и для всех частот, то такое тело называют абсолютно черным. Поглощательная способность абсолютно черного тела по определению равна единице .

Лучеиспускательная способность абсолютно черного тела зависит только от частоты и абсолютной температуры. Реальные тела не являются абсолютно черными. Достаточно хорошим приближением абсолютно черного тела являются сажа, платиновая чернь, черный бархат. Наиболее близкой моде-лью абсолютно черного тела является поверхность малого отверстия в непрозрачной стенке замкнутой полости. При каждом отражении от стенок полости происходит частичное поглощение энергии световой волны и при многократном отражении свет практически не выходит наружу. Запишем связь между электромагнитным излучением _изл, испускаемым с единицы площади поверхности тела за единицу времени в интервале частот от до и спектральной плот­ностью энергетической светимости , а также между излучаемой и поглощаемой энергии, исходя из соотношений (13.1) и (13.2):

(13.3)

В состоянии термодинамического равновесия _излДля абсолютной черной пластины имеем:

. (13.4)

Учитывая, что в состоянии термодинамического равновесия , окончательно получаем:

или (13.5)

Таким образом, отношение лучеиспускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от химического состава тела и равно лучеиспускательной способности абсолютно черного тела и яв­ляется функцией температуры и частоты . Этот закон был впервые установлен Кирхгофом и носит его название, а функция называется функцией Кирхгофа. Из закона Кирхгофа следует, что, если , то , если , то . Следовательно, если тело не поглощает при данной температуре в данном интервале частот, то оно не может и излучать при этой же температуре и этом же интервале частот.

Полная мощность излучения по всему спектру частот от 0 до называется энергетической светимостью тела или интегральной излучательной способностью, которая обозначается . По определению она равна:

или с учетом закона Кирхгофа

. (13.6)

Для абсолютно черного тела , следовательно:

. (13.7)

В дальнейшем основной задачей теории теплового излучения стало отыскание явного вида функции Кирхгофа. В 1879 году на осно­ве анализа опытных данных Д. Стефан пришел к заключению, что энер­гетическая светимость любого тела прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. Однако Л. Больцман в 1884 году теоретически методом термодинамики показал, что это утверждение спра­ведливо только абсолютно черных тел. Эта зависимость вошла в историю физики как закон Стефана-Больцмана

(13.8)

Коэффициент пропорциональности Вт/м²×К⁴ носит название постоянной Стефана-Больцмана. Однако они не решили задачу об отыскании явного вида функции Кирхгофа.

Следующий шаг в нахождении явного вида функции Кирхгофа был предпринят В. Вином в 1893 году, который рассмотрел задачу об адиа­батическом сжатии излучения абсолютно черного тела в цилиндрическом сосуде с подвижным зеркальным поршнем и зеркальными стенками. В ре­зультате он получил следущее выражение для функции Кирхгофа:

(13.9)

где - некоторая неизвестная в явном виде функция.

Хотя сам В. Вин не установил явного вида функции, однако из формулы Вина (13.9) вытекает закон Стефана-Больцмана.

Рис. 13.

Из этого рисунка видно, что с ростом температуры увеличивается максимальное значение лучеиспускательной способности абсолютно черного тела. Кроме того, сам максимум лучеиспускательной способнос­ти черного тела смещается с ростом температуры в сторону более вы­соких частот. Формула В.Вина позволила сформулировать эти явления в виде законов Вина. При данной температуре частота излучения , на которую приходится максимум лучеиспускательной способности абсолютно черного тела легко определяется из условия равенства нулю частной производной от функции Кирхгофа:

. (13.10)

Из последнего равенства следует:

Окончательно получаем закон смещения Вина:

, (13.11)

который гласит, что частота, соответствующая максимальному значению лучеиспускательной способности абсолютно черного тела, прямо пропорциональна его абсолютной температуре. - постоянная величина, зависящая от явного вида функции Вина . Обычно закон смещения Вина записывают через длину волны излучения

(13.12)

длина волны, на которую приходиться максимум лучеиспускательной способности абсолютно черного тела с ростом температуры смещается в сторону коротких длин волн. Постоянная м×К носит название постоянной Вина, определяется опытным путем.

Впервые выражение для функции Кирхгофа было дано в работах Д. Рэлея и Д. Джинса, которые были основаны на представлениях Максвелла и методах статистической физики. Обозначая через среднее во времени значение энергии осциллятора с собственной частотой при температуре системы Т, можно представить функцию Кирхгофа в виде:

. (13.14)

Из, курса классически статистической физики известно, что на одну степень свободы колебательного движения в среднем приходится энергия, равная

.

Подставляя эту энергию в формулу (13.14), окончательно получаем формулу Рэлея и Джинса в вид

. (14.15)

Однако формула Рэлея и Джинса достаточно хорошо согласовывалась с опытом только в области низких частот (рис. 13.2).

В области же высоких частот (коротких длин волн) формула Рэлея и Джинса резко расходится с экспериментальными значениями . Это значи­тельное расхождение теории и опыта при высоких частотах получило название «ультрафиолетовой катастрофы». Кроме того, энергетическая светимость абсолютно черного тела на основе представлений Рэлея и Джинса оказалась равной

.

Таким образом, формула Рэлея и Джинса находилась в противоречии с законом Стефана-Бoльцмана, согласно которому . Выход был найден немецким физиком М. Планком в 1990 году. Он не отвергает идеи Рэлея и Джинса об излучении энергии независимыми осцилляторами. Вместе с тем, Планк предположил, что энергия излучения может принимать лишь определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций энергии - квантов . Следовательно, энергию осциллятора можно представить в виде , где - любое целое положительное число. При этом условии, используя распределение Больцмана, Планку удалось найти среднюю энергию гармонического квантового осциллятора в виде:

. (13.16)

Подставляя среднее значение энергии гармонического осциллятора в формулу Рэлея и Джинса, получим:

. (13.17)

Сравнивая эту формулу с формулой Вина (13.9), Планк установил, что энергия кванта должна быть равна , где - постоянная Планка.

Дж×с

Окончательно Планк получил в явном виде выражение для функции Кирхгофа в виде:

. (13.18)

Формула Планка (13.18) для лучеиспускательной способности абсолютно черного тела хорошо согласуется с опытом при самых различных температурах.

Поиск по сайту: