Смешанные стратегии. Наличие у игры седловой точки вынуждает обоих игроков обязательно реализовывать только одну из чистых стратегий

Наличие у игры седловой точки вынуждает обоих игроков обязательно реализовывать только одну из чистых стратегий. Но, как уже отмечалось выше, далеко не каждая игра ее имеет. В таком случае невозможно дать какие-либо содержательные рекомендации по такому вопросу, как следует поступать участникам однократно проводимой игры. Однако принципиально отличной является ситуация, когда игра становится многократно повторяющимся процессом. Появляется возможность реализовать принцип рандомизации, т.е. внести в процесс выбора элемент случайности или фактор вероятности. В таких условиях применяется принцип смешанных стратегий. Рассмотрим его на следующем примере.

Предположим, имеется игра, заданная матрицей:

.

Для нее α_max=2, β_min=4, т.е. игра не имеет седловой точки. Предположим, что игроки сыграли 10 игровых циклов, причем игрок А использовал за этот период чистые стратегии: первую - 3 раза, вторую - 5 раз, третью -2 раза. Второй игрок В за этот же период использовал свои чистые стратегии: первую – 2 раза, вторую -3 раза, третью – 1 раз, четвертую – 4 раза. В таком случае говорят, что игроки использовали смешанные стратегии, которые записываются в виде вектор-строки (в принятых обозначениях):

смешанная стратегия первого игрока - ,

смешанная стратегия второго игрока - .

Смешанной стратегией игрока (например, А)в игре с матрицей называется упорядоченный набор действительных чисел u_i (i=1…m), удовлетворяющих условиям

u_i > 0, .

Числа, составляющие вектор-строку смешанной стратегии, интерпретируются как относительные частоты или вероятности применения игроком соответствующей чистой стратегии. Аналогично для игрока В смешанная стратегия будет записана так:

z _j > 0, j=1…n, .

К поиску решения игры в смешанных стратегиях, так же как и при наличии седловой точки, могут быть применены критерии максимина-минимакса. В соответствии с ними игрок А будет выбирать свою смешанную стратегию таким образом, чтобы максимизировать наименьший средний выигрыш, а игрок В – минимизировать свой максимальный проигрыш. Если u^* - оптимальная смешанная стратегия первого игрока, а z^* - оптимальная смешанная стратегия второго игрока, то число

(26)

является ценой игры. С точки зрения математической статистики, это средневзвешенное (или, точнее, математическое ожидание) матрицы игры за все игровые циклы.

Т е о р е м а 1. Для любой матричной игры в смешанных стратегиях действительно соотношение:

,

т.е. цена игры не менее максимина, но и не более минимакса.

Поиск по сайту: