Метод Ейлера інтегрування однорідних лінійних систем з постійними коефіцієнтами

Означення. Лінійною однорідною системою з постійними коефіцієнтами називається система ДР вигляду , , де коефіцієнти - деякі сталі, - шукані функції.

Дану систему можна записати у матричній формі , де

.

Матриця-стовбець називається частинним розв’язком матричного рівняння, якщо виконується тотожність для .

Система частинних розв’язків

,

(, - номер розв’язку, - номер функції у розв’язку) називається фундаментальною на , якщо визначник Вронського

.

Теорема. Якщо система частинних розв’язків однорідного матричного рівняння є фундаментальною, то загальний розв’язок цього рівняння має вигляд , де - довільні сталі.

Метод Ейлера розглянемо на прикладі системи 3-х лінійних рівнянь.

Розв’язок системи будемо шукати у вигляді , - сталі. Підставимо їх в систему і скоротимо на :

(**)

Ця система має ненульовий розв’язок, якщо її визначник . Це рівняння називається характеристичним.

Можливі наступні випадки:

1) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Підставляючи в систему (**) замість числа поступово отримаємо числа відповідно, яким будуть відповідати трійки частинних розв’язків:

Загальний розв’язок системи має вигляд

.

Приклад. . ХР: .

1)

2)

3)

Тоді загальний розв’язок має вигляд .

2) корені ХР рівняння комплексні .

Маємо ХР: .

1) . Виберемо перше рівняння і покладемо .

2)

Перейдемо до нової фундаментальної системи розв’язків за формулами:

Тоді .

І загальний розв’язок отримається

Зауваження. Знайшовши перший частинний розв’язок, можна було б відразу написати загальний розв’язок системи за формулами:

.

Для попереднього прикладу отримаємо:

3) випадок кратних коренів.

Приклад. Розв’язати систему

ХР: .

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Підставимо ці рівності в перше рівняння системи:

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

і є довільними, позначимо їх через і . Отримаємо .

Відповідь:

Поиск по сайту: