Однорідні ДР-1 та звідні до них

Означення. Функція називається однорідною функцією виміру , якщо . Якщо ця рівність виконується при , то називається додатньо однорідною.

Приклад. .

Означення. ДР-1 називається однорідним, якщо функції та однорідні одного виміру.

Однорідне рівняння завжди можна звести до рівняння виду , в якому функція - однорідна нульового виміру. Такі рівняння завжди інтегруються в скінченному вигляді, ввівши підстановку , в результаті чого отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними.

Дійсно,

,

,

,

Позначимо , отримаємо

, ,

При відокремленні змінних можна було втратити розв’язки , де - корені рівняння . Отже, пів прямі , а також півосі вісі можуть бути частинними розв’язками ДР, якщо їх можна отримати із загального, або особливими. Інших особливих розв’язків ДР не має.

Приклад.

Введемо підстановку ,

, ,

- особливий розв’язок (його не можна дістати із загального при будь-якому значенні ).

Рівняння виду зводиться до однорідного в наступних випадках:

1) , то це і є однорідне рівняння

2)хоча б одне з чисел або відмінне від нуля:

А)

Проведемо заміну , де - нові змінні, - параметри. Тоді

.

Параметри виберемо з умови . Оскільки , то ця система має єдиний розв’язок. Отримаємо однорідне ДР

.

Б)

Заміною останнє ДР приводимо до рівняння з відокремлюваними змінними

,

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Складемо систему ,

Система має єдиний розв’язок . Тому вводимо заміну , після якої рівняння приймає вигляд

- однорідне рівняння.

, .

Покладемо , тоді і .

, ,

, , ,

, ,

,

- загальний інтеграл.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Складемо систему , для якої . Введемо підстановку , тому , , .

Отримаємо рівняння ,

,

, ,

.

Інколи рівняння можна привести до однорідного заміною змінних . Це має місце в тому випадку, коли в рівнянні всі члени є одного виміру, якщо змінній приписати вимір 1, змінній - вимір , похідній - вимір (або відповідно диференціалам та виміри та ). Такі рівняння називаються узагальнено-однорідними.

Приклад. Знайти загальний розв’язок .

Покладемо , тоді , - довільне число, яке виберемо пізніше.

,

Дане рівняння буде однорідним, якщо всі члени мають однаковий вимір, тобто , . Тому підстановка приймає вигляд , і

, ,

- однорідне рівняння

Поиск по сайту: