Інтегрування ДР за допомогою рядів

Цей прийом зручний для розв’язування лінійних ДР. Нехай маємо ЛОДР-2 . Припустимо, що коефіцієнти і записані у вигляді рядів Маклорена:

.

Розв’язок цього рівняння також будемо шукати у вигляді степеневого ряду . Підставимо його в рівняння:

.

Перемножуючи ряди та порівнюючи коефіцієнти при всіх степенях зліва і справа, отримаємо нескінченну систему:

……………………………………………….

Кожне наступне рівняння містить на 1 шуканий коефіцієнт більше, ніж попереднє. Коефіцієнти і - довільні і відіграють роль довільних сталих. З першого рівняння знаходимо , з другого – і т.д.

Практично зручно зробити так. За наведеною схемою визначимо 2 розв’язки і , причому для виберемо і , а для виберемо , що відповідає наступним початковим умовам: . Будь-який розв’язок початкового рівняння буде лінійною комбінацією розв’язків та .

Теорема. Якщо ряди і збігаються при , то побудований вказаним способом степеневий ряд буде також збіжний при цих значеннях і є розв’язком рівняння. Зокрема, якщо і - многочлени, то ряд буде збігатися при довільному .

Приклад.

Шукаємо . Підставимо і отримаємо:

Поклавши отримаємо і .

Аналогічно, .

Загальний розв’язок має вигляд: , де - довільні сталі, так що .

Поиск по сайту: