Рівняння Лагранжа

Його загальний вигляд .

Покладемо та продиференціюємо по , замінюючи на . Отримаємо рівняння лінійне відносно як функції від . Знайшовши розв’язок цього останнього рівняння , отримаємо загальний розв’язок в параметричній формі: , .

, ,

-ЛНДР-1

Крім того, рівняння Лагранжа може мати ще особливі розв’язки виду , де - корінь рівняння .

Приклад. .

Нехай , тоді . Продиференціюємо:

, , - ЛНДР-1 відносно , розв’язком якого є . Підставимо знайдений вираз для в :

, .

Рівняння Клеро має вигляд . Метод розв’язання той самий, як і для рівняння Лагранжа:

,

- загальний розв’язок.

Рівняння Клеро може мати особливий розв’язок, який можна отримати виключенням параметра з рівнянь , .

Приклад. .

Нехай , тоді , ,

- одно параметрична сім’я прямих.

Якщо , то .

Виключимо параметр з системи

.

Тобто особливий розв’язок, що з геометричної точки зору є обвідною сім’ї прямих.

ДР- . Основні поняття та означення

ДР- має вигляд , або у випадку, коли воно розв’язне відносно

. (1)

Задача знаходження розв’язку , який задовольняє початкові умови , називається задачею Коші для рівняння (1).

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші). Якщо в рівнянні (1) функція

а) неперервна по всім своїм аргументам в деякій області ;

б) має в цій області обмежені частинні похідні ,

то знайдеться інтервал , на якому існує єдиний розв’язок рівняння (1), що задовольняє початковим умовам , де значення містяться в області .

Зокрема, для ДР-2 початкові умови мають вигляд , де - дані числа. В цьому випадку теорема існування та єдності геометрично означає, що через дану точку площини з даним тангенсом кута нахилу дотичної проходить єдина крива.

Приклад. , .

В даному випадку , яка визначена і неперервна при всіх значеннях . Її частинні похідні по і рівні

,

які є неперервними і обмеженими функціями своїх аргументів. Тому для довільних початкових умов існує єдиний розв’язок даного рівняння, який їм задовольняє.

Загальним розв’язком ДР- (1) називається множина всіх його розв’язків , що містить довільних сталих таких, що якщо задані початкові умови , то знайдуться такі значення , що буде розв’язком р-ня (1), що задовольняє цим початковим умовам.

Довільний розв’язок, який можна отримати із загального при конкретних значеннях довільних сталих , називається частинним розв’язком (1).

Рівняння виду , яке визначає неявно загальний розв’язок ДР, називається загальним інтегралом рівняння. Графік частинного розв’язку або частинного інтегралу називається інтегральною кривою даного ДР.

ДР- , що допускають пониження порядку

1. Рівняння виду розв’язується послідовним інтегруванням

, …

.

Приклад.

Відповідь: .

2. ДР- , що не містять шуканої функції .

Позначимо , отримаємо рівняння , що має порядок на одиниць менше.

Приклад.

Нехай , тоді і рівняння приймає вигляд - однорідне ДР

Відповідь: .

3. ДР, що не містять незалежної змінної .

Застосуємо підстановку , ,

, …

Таким чином порядок рівняння знижується на 1.

Приклад.

Це рівняння типу .

, ,

, , .

Лінійні ДР-

Рівняння виду називається лінійним ДР- , де - коефіцієнти ДР, - неперервна в інтервалі .

Якщо , то рівняння однорідне, інакше – неоднорідне.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти частинний розв’язок рівняння , що задовольняє початкові умови: при , де - певні числа.

Теорема (про існування та єдність розв’язку). ДР- має єдиний розв’язок, що задовольняє початкові умови , якщо: 1) права частина є неперервна функція змінних ; 2) частинні похідні по змінним обмежені.

Внаслідок того, що за означенням ЛДР- функції неперервні на деякому відрізку , а тому і обмежені на ньому, і частинні похідні по змінним якраз і рівні цим функціям, то ЛДР- задовольняє умови Коші. І тому для кожної початкової умови рівняння має єдиний розв’язок.

Поиск по сайту: