Лінійні ДР-1

Означення. ДР-1 виду називається лінійним (ЛДР-1). Якщо , то воно називається однорідним (ЛОДР-1), якщо - неоднорідним (ЛНДР-1).

Нехай маємо ЛОДР-1 .

.

Якщо задана початкова умова , то .

Загальні властивості розв’язків ЛОДР-1:

1) Якщо і - неперервні, то за теоремою Пікара розв’язок задачі Коші існує і є єдиним;

2) Дане рівняння не має особливих розв’язків.

Методи інтегрування ЛНДР-1.

1. Метод Лагранжа (варіації довільних сталих).

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Підставимо цей вираз в ЛНДР-1:

Остаточно отримаємо розв’язок

.

Приклад.

Складемо відповідне однорідне ДР: , розв’язком якого є . Тоді розв’язок неоднорідного будемо шукати у вигляді . Після підстановки його в дане рівняння отримаємо і .

2. Метод Бернуллі.

Загальний розв’язок даного рівняння будемо шукати у вигляді , де одна з функцій вибирається довільним чином. Маємо . Підставимо вираз для функції та її похідної в ДР, отримаємо:

,

.

Виберемо функцію так, щоб . Отримаємо, що дане рівняння рівносильне системі . Перше рівняння є ЛОДР-1, розв’язком якого є (тут сталу опустимо). Тоді

, , .

.

Приклад.

Зауваження. Може бути, що ДР лінійне відносно як функції від , тобто може бути записане у вигляді .

Приклад. .

Відповідь: .

Поиск по сайту: