АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні ДР-1

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  2. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  3. Координати вектора. Визначення вектора за його координатами. Лінійні операції над векторами у координатній формі
  4. Лінійні диференціальні рівняння
  5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
  6. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
  7. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
  8. Лінійні дії над матрицями
  9. Лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку
  10. Лінійні однорідні рівняння 2-го порядку
  11. Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коеф.

Означення. ДР-1 виду називається лінійним (ЛДР-1). Якщо , то воно називається однорідним (ЛОДР-1), якщо - неоднорідним (ЛНДР-1).

Нехай маємо ЛОДР-1 .

.

Якщо задана початкова умова , то .

Загальні властивості розв’язків ЛОДР-1:

1) Якщо і - неперервні, то за теоремою Пікара розв’язок задачі Коші існує і є єдиним;

2) Дане рівняння не має особливих розв’язків.

Методи інтегрування ЛНДР-1.

1. Метод Лагранжа (варіації довільних сталих).

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Підставимо цей вираз в ЛНДР-1:

Остаточно отримаємо розв’язок

.

Приклад.

Складемо відповідне однорідне ДР: , розв’язком якого є . Тоді розв’язок неоднорідного будемо шукати у вигляді . Після підстановки його в дане рівняння отримаємо і .

2. Метод Бернуллі.

Загальний розв’язок даного рівняння будемо шукати у вигляді , де одна з функцій вибирається довільним чином. Маємо . Підставимо вираз для функції та її похідної в ДР, отримаємо:

,

.

Виберемо функцію так, щоб . Отримаємо, що дане рівняння рівносильне системі . Перше рівняння є ЛОДР-1, розв’язком якого є (тут сталу опустимо). Тоді

, , .

.

Приклад.

Зауваження. Може бути, що ДР лінійне відносно як функції від , тобто може бути записане у вигляді .

Приклад. .

Відповідь: .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)