Властивості однорідних лінійних ДР

Очевидно, що серед розв’язків рівняння завжди є частинний розв’язок . Цей розв’язок є тривіальним і не береться до уваги при знаходженні розв’язків.

Надалі будемо розглядати ДР-2.

Теорема 1. Якщо є частинний розв’язок ЛОДР-2, то і , де , є також розв’язком цього рівняння.

Теорема 2. Якщо і є розв’язками ЛОДР-2, то їх сума також є розв’язком цього рівняння.

Наслідок. Якщо і є розв’язками ЛОДР-2, то , де довільні сталі, також є розв’язком цього рівняння.

Ці теореми можна легко розповсюдити на випадок . Функція є розв’язком ЛОДР- при умові, що кожна з функцій також є розв’язком цього рівняння. Проте не завжди функція такого виду є загальним розв’язком.

Наприклад, для ДР-2 маємо 2 розв’язки і , то може статися, що фактично функція-розв’язок має тільки одну довільну сталу: . Тоді , .

Або при : , Маємо .

Як буде доведено далі, функція буде загальним розв’язком ЛОДР- , коли частинні розв’язки цього рівняння задовольняють певні умови.

Означення. Якщо функції , , пов’язані співвідношенням , де - деякі сталі, серед яких є відмінні від нуля, то вони називаються лінійно залежними в . Якщо ж для даної системи функцій рівність можлива лише при , то функції цієї системи називаються лінійно незалежними.

Приклад. 1)

Лінійна комбінація виконується, наприклад, для чисел , тому дана система функцій є ЛЗ.

2)

Тут лінійна комбінація можлива лише тоді, коли .

Справедлива

Теорема. Якщо функції , що мають в похідні до го порядку включно, лінійно залежні в , то для всіх виконується рівність ,

де даний визначник називається вронскіаном.

Доведення. Нехай - лінійно залежні в . Тоді для лінійна комбінація , коли не всі коефіцієнти рівні нулю. Нехай , тоді , де . Звідси .

Отже, тий стовпчик вронскіана є лінійною комбінацією всіх інших стовпчиків, тому і . Доведено.

Нехай дано функцій , і ці функції є частинними розв’язками ЛОДР- .

Теорема. Якщо хоча б в одній точці інтервалу , то функції лінійно залежні.

Доведення. Виберемо . Через позначимо значення функцій та їх похідних до го порядку включно в цій точці. Складемо систему лінійних рівнянь, вважаючи ці числа коефіцієнтами:

Нехай в точці , тоді дана система має ненульові розв’язки: і складемо функцію . За наслідками 1 та 2 вона є розв’язком ЛОДР- , який задовольняє початкові умови , що випливає з цієї системи.

Ці самі початкові умови задовольняють і тривіальний розв’язок . За теоремою існування та єдності розв’язку випливає, що тривіальний розв’язок збігається з і тому , де не всі . Тому функції лінійно залежні.

Наслідок 1. Я кщо , де - розв’язки ЛОДР- хоча б в одній точці з , то він у цьому інтервалі рівний нулю тотожно.

Доведення. в одній точці, тоді - лінійно залежні в . А за теоремою 1 .

Наслідок 2. Для того, щоб частинні розв’язки ЛОДР- були ЛНЗ в необхідно і достатньо, щоб в будь-якій точці .

Означення. Система ЛНЗ частинних розв’язків ЛОДР- називається фундаментальною системою розв’язків (ФСР).

Теорема. Якщо утворюють ФСР ЛОДР- , то загальний розв’язок є лінійною комбінацією частинних розв’язків з довільними сталими : .

Доведення проведемо при . Покажемо, що можна знайти і так, щоб задовольнити задані початкові умови: при , . Нехай при маємо , , , .

Тоді . Розв’яжемо систему відносно і :

Оскільки (система розв’язків і є ФСР), то для і можна знайти єдині значення. Таким чином, з розв’язку можна отримати довільний частинний розв’язок (розв’язок, який задовольняє довільні початкові умови), а це означає, що є загальний розв’язок.

Отже, для знаходження загального розв’язку ЛОДР- досить мати ФСР його розв’язків.

Приклад. .

Маємо, що функції є розв’язками ЛОДР-2, в чому можна впевнитися підстановкою. Ці функції утворюють ФСР:

.

Теорема. Для кожного ЛОДР- існує ФС частинних розв’язків.

ЛОДР- з постійними коефіцієнтами

Загальний вигляд: , де . (*)

Для такого рівняння існує спосіб знаходження ФСР, а значить і загального розв’язку.

Частинні розв’язки будемо шукати у вигляді . Це є єдина елементарна функція, всі похідні якої подібні між собою і подібні до самої функції, і тому при підстановці в ЛОДР можуть дати нуль.

Після підстановки маємо: .

Многочлен в дужках називається характеристичним многочленом, який відповідає рівнянню (*). Рівняння називається характеристичним рівнянням. Воно отримане з рівняння (*), якщо замінити похідні різних порядків відповідними степенями .

Отже, буде частинним розв’язком рівняння (*) зі сталими коефіцієнтами, якщо є коренем характеристичного рівняння. Це рівняння має коренів , і тому отримаємо частинних розв’язків .

1) всі корені ХР різні (немає кратних коренів) і дійсні, тому всі частинні розв’язки різні між собою.

Покажемо, що розв’язки утворюють ФСР. Складемо детермінант Вронського:

.

Останній визначник є детермінантом Вандермонда, який (як відомо з алгебри) дорівнює і тому при різних відмінний від нуля. Отже, система є ФСР і отримаємо загальний розв’язок рівняння у вигляді

.

Приклад. .

, .

2) Розглянемо випадок уявних коренів ХР: . Тоді .

З курсу алгебри відомо, що якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то воно має і спряжений з им корінь . Тобто маємо два частинні розв’язки: .

За формулою Ейлера маємо , .

Теорема. Якщо ЛОДР- з постійним коефіцієнтами має розв’язок виду , то кожна з функцій і є розв’язками цього рівняння.

Доведення. Підставимо в рівняння замість вираз :

Тоді і .

Ця теорема дає висновок, що комплексному кореню відповідає два дійсних розв’язки ЛОДР- : , які є лінійно незалежними. Спряжений корінь дає ті самі (з точністю до множника) дійсні розв’язки.

Отже, кожній парі спряжених комплексних корнів ХР відповідає два дійсних частинних розв’язки .

Приклад. 1) ,

2) ,

3) ХР має кратні корені. Тоді отримаємо менше ніж частинних розв’язків ХР і не отримаємо ФСР і загального розв’язку. Треба знайти новий спосіб.

Розв’язок ДР будемо шукати у вигляді . З певних міркувань після підстановки цього розв’язку в ДР виявляється, що за функції можна взяти функції , де - кратність кореня ХР. Тому частинними розв’язками ДР, що відповідають кореню кратності будуть функції .

Приклад. ,

3) Якщо маємо - кратну пару спряжених комплексних коренів ХР, то цій парі коренів відповідатимуть такі частинні розв’язки:

,

,

…………………………….

.

Приклад. ,

,

Лінійні неоднорідні ДР-

Це рівняння виду . А рівняння називається відповідним однорідним ДР- .

Теорема. Якщо - частинний розв’язок ЛНДР- , то його загальний розв’язок буде , де - загальний розв’язок відповідного йому однорідного рівняння.

Доведення проведемо при . Підставимо в рівняння :

.

Оскільки - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння, то , а оскільки - розв’язок неоднорідного, то отримаємо тотожність . Отже, - розв’язок ЛНДР- .

Поиск по сайту: