Інтегральні рівняння Вольтерра

1. Зв’язок між ЛДР та інтегральними рівняннями Вольтерра.

Розв’язок ЛДР з неперервними коефіцієнтами з початковими умовами може бути зведене до розв’язку деякого інтегрального рівняння Вольтерра ІІ роду.

При перетвореннях будемо використовувати формулу

.

Нехай для конкретності маємо ДР-2 , . Покладемо , тоді враховуючи початкові умови, послідовно знаходимо:

, .

Підставимо в ДР, отримаємо

.

.

Покладемо , отримаємо .

Існування єдиного розв’язку ІР випливає зі існування та єдності розв’язку задачі Коші для ЛДР з неперервними коефіцієнтами в околі точки .

Справедливе обернене: розв’язуючи ІР, отримаємо єдиний розв’язок ЛДР-2 з початковими умовами.

Приклад. Скласти ІР, що відповідає ДР з початковим умовами .

.

Означення. Ядро називається виродженим, якщо його можна представити у вигляді скінченної суми добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від , а інша тільки від , тобто має вигляд

Тоді ІР матиме вигляд .

Приклад. Розв’язати ІР Вольтерра ІІ роду .

З рівняння випливає, що . Це ЛНДР-1, загальний розв’язок якого . Використовуючи початкову умову .

Приклад.

,

.

З умови , тому, тому , ,

.

Приклад. Розв’язати ІР Вольтерра 1-го роду .

Продиференціюємо по праву і ліву частини:

З самого ІР маємо .

Поиск по сайту: