Метод варіації довільних сталих. знаходження частинного розв’язку ЛНДР-

знаходження частинного розв’язку ЛНДР-

Суть цього методу з’ясовує наступна теорема, яку доведемо для ЛНДР-2:

Теорема. Щоб отримати частинний розв’язок ЛНДР-2 досить у вираз для загального розв’язку відповідного однорідного ДР замість сталих і підставити функції і , похідні від яких задовольняють систему рівнянь:

.

Доведення. Якщо , то . Треба знайти функції і . Одне співвідношення між ними можна взяти довільним. Виберемо і так, щоб . Тоді отримаємо і знайдемо : .

Підставимо в ДР:

,

Оскільки і є розв’язками відповідного однорідного рівняння, то і . Тому .

Отже, для того, щоб функція була розв’язком ЛНДР-2, необхідно і достатньо, щоб функції і задовольняли вказану систему. Ця система має розв’язок, оскільки її головний визначник .

Приклад. Нехай задане рівняння , розв’язок відповідного однорідного рівняння якого має вигляд .

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді . Складемо систему

.

Лінійні неоднорідні ДР- зі сталими коефіцієнтами

Одним із методів розв’язання такого типу рівнянь є метод варіації довільних сталих, коли відомий розв’язок відповідного однорідного ЛДР- .

Частинний розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді . Складемо систему для і :

,

, .

Тоді .

Приклад. .

Практично цей шлях вимагає досить громіздких обчислень. Але існують для деяких окремих видів правої частини ЛНДР- прості прийоми знаходження його частинних розв’язків без квадратур.

Поиск по сайту: