Розв’язування ІР Вольтерра за допомогою резольвенти
Нехай маємо ІР , де - неперервна при , неперервна при . Розв’язок ІР будемо шукати у вигляді степеневого ряду за степенями :
Підставимо цей ряд в ІР:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо:
,
,
, …
Отримані співвідношення дають спосіб послідовного визначення функцій . При припущеннях щодо функцій та отриманий ряд збігається рівномірно по і при і його сума є єдиний розв’язок ІР. Маємо
,
,
де .
Аналогічно .
Функції називаються повторними або ітерованими ядрами, які визначаються за допомогою рекурентних формул
,
Тоді . Функція називається резольвентою ІР. Даний ряд збігається абсолютно і рівномірно.
Ітеровані ядра (резольвента) не залежать від нижньої межі інтегрування. Резольвента задовольняє наступне функціональне рівняння
За допомогою резольвенти розв’язок ІР запишеться у вигляді
.
Приклад. Знайти резольвенту ІР Вольтерра з ядром .
,
,
,
,
…..
,
.
Приклад. За допомогою резольвенти знайти розв’язок ІР .
,
,
,
…..
.
Тому .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | Поиск по сайту:
|