ДР-1, не розв’язні відносно похідної

1. Рівняння першого порядку -го степеня відносно .

Нехай маємо ДР . Розв’яжемо це рівняння відносно . Нехай , , …, , - дійсні корені рівняння.

Тоді загальний інтеграл буде виражатися сукупністю інтегралів: , , …, , де є інтеграл рівняння .

Таким чином через кожну точку області, в якій набуває дійсних значень, проходить інтегральних кривих.

Приклад. .

,

Тоді .

2. Рівняння вигляду і .

Розглянемо випадок, коли ці рівняння не розв’язні відносно похідної.

А) Рівняння розв’язне відносно : . Покладемо , тоді . Продиференціюємо останнє рівняння і замінимо , отримаємо

, , .

Отримаємо загальний розв’язок в параметричній формі

, .

Приклад. , де - сталі.

Покладемо , тоді , , , . Тоді загальний розв’язок буде

, .

Б) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння розв’язне відносно : . Покладемо , отримаємо . Але , і тому , так що і .

Таким чином, , - загальний розв’язок в параметричній формі.

Приклад. .

Нехай , тоді ,

, .

Тобто загальний розв’язок маємо в параметричній формі

.

Поиск по сайту: