Неповні рівняння

А) ДР-1, що не містять шуканої функції .

Нехай - неперервна на . Тоді загальний розв’язок в області . Особливих розв’язків рівняння не має.

Розглянемо задачу Коші з початковими умовами . Проінтегруємо рівняння від до : /

Якщо має розрив в деякій точці , то замість ДР розглядають рівняння . Пряма є розв’язком цього рівняння і цей розв’язок треба приєднати до розв’язку початкового рівняння. Він може бути частинним (отриманий із загального при деякому ) або особливим.

Б) ДР-1, яке не містить незалежної змінної: .

Нехай неперервна на . Тоді замість цього рівняння розглянемо рівняння , що є рівнянням, що не містить шуканої функції А).

Якщо при , функція неперервна і , то розв’язок є або частинним або особливим.

Приклад. .

Область визначення рівняння є .

, , , .

2. Рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Припустимо, що . Тоді розділимо ліву частину рівняння на цей вираз, отримаємо:

,

який можна переписати так: - загальний інтеграл.

Якщо врахувати початкові умови , отримаємо розв’язок задачі Коші

.

При діленні на вираз можна загубити розв’язки, які визначаються рівняннями і . Якщо ці розв’язки не входять до загального інтегралу, то вони є особливими розв’язками.

Приклад.

Розв’язок є особливим.

Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння , що задовольняє початкову умову .

Якщо , то , .

Приклад. Знайти криву, що проходить через точку , щоб тангенс кута нахилу дотичної в довільній її точці дорівнював ординаті цієї точки, збільшеній на 3 одиниці.

Маємо ДР , що випливає з геометричного змісту похідної. Його розв’язок .

Використаємо початкову умову : .

Приклад. Відомо, що швидкість розпаду радію прямо пропорційна його кількості. Визначити залежність кількості радію від часу.

Позначимо через кількість радію в момент часу , тоді швидкість розпаду радію. За умовою отримаємо ДР . Це є р-ня з відокремлюваними змінними. Загальний розв’язок: .

Нехай в деякий момент часу було грамів радію. Тоді отримаємо .

Поиск по сайту: