Основні означення

Означення. Система звичайних ДР , , розв’язна відносно старших похідних , називається канонічною системою. Вона має вигляд

Порядком системи називається число .

Означення. Система звичайних ДР першого порядку виду

,

де - незалежна змінна, - невідомі функції від , називається нормальною.

Число називається порядком нормальної системи. Дві системи ДР називаються еквівалентними, якщо вони мають одні і ті самі розв’язки.

Приклад. Привести до нормальної системи наступну систему ДР:

Покладемо . Тоді отримаємо , і дана система приведеться до наступної нормальної системи третього порядку:

Означення. Розв’язком системи ДР в називається сукупність довільних функцій , визначених та неперервно диференційовних в ,якщо вони обертають всі рівняння системи в тотожності, що виконуються для кожного .

Приклад. Показати, що система функцій є розв’язком системи ДР

Означення. Задачею Коші для системи ДР називається задача знаходження розв’язку цієї системи , що задовольняє початковим умовам , де .

Можна навести

теорему (існування та єдності розв’язку задачі Коші). Нехай маємо нормальну систему ДР і нехай функції визначені в деякій вимірній області змінних . Якщо існує окіл точки , в якому функції неперервні і мають обмежені частинні похідні по змінним , то знайдеться інтервал, в якому існує єдиний розв’язок нормальної системи, що задовольняє початкові умови.

Означення. Система диференційовних функцій , , називається загальним розв’язком нормальної системи ДР, якщо: 1) при всіх припустимих значеннях система функцій обертає всі рівняння системи в тотожності; 2) в області, де виконуються умови теорем Коші, функції розв’язують будь-яку задачу Коші.

Означення. Розв’язки, отримані із загального при конкретних значеннях сталих , називаються частинними.

Розглянемо нормальну систему Значення розглянемо як прямокутні декартові координати точки тривимірного простору . Розв’язок що приймає при значення зображує в цьому просторі деяку лінію, що проходить через точку , яка називається інтегральною кривою нормальної системи.

Задача Коші має наступну геометричну інтерпретацію: в просторі знайти інтегральну криву, що проходить через точку . Теорема Коші встановлює існування та єдність такої лінії.

Поиск по сайту: