Розрахунок похибок вимірювань

Кінцевим етапом експерименту є обробка отриманих даних та їх аналіз. Внаслідок різних причин у процесі вимірювань обов’язково виникають похибки. Результати вимірювань лише тоді є цінними, коли оцінені похибки вимірювань. Роздивимось деякі найпростіші способи обробки результатів експерименту та оцінки похибок.

Нехай х - певна величина, що вимірюється багаторазово (n разів) за одних і тих самих умов. Через недосконалість приладу, помилки експериментатора, невраховані зміни умов кожний вимір дає власний результат х₁, х₂, х₃..., х_n, що відмінний від істинного значення цієї величини х. Найбільш імовірним та близьким до істинного є середнє арифметичне значення цієї величини :

. (1)

Теорія показує, що х. Різниця між результатом даного вимірювання (х_і) і середнім арифметичним значення серії таких вимірювань називають абсолютною похибкою окремого вимірювання (Dх_і):

Dх_і = х_і - . (2)

Помилку окремого вимірювання оцінюють також середньою квадратичною похибкою

. (3)

Квадрат середньої квадратичної похибки, що характеризує розсіювання вимірюваних величин отримав назву дисперсії вимірювань S_n². Дисперсія показує, наскільки широко розкидані значення окремих вимірювань відносно середнього значення.

Середня квадратична похибка серії вимірювань (середньоквадратична помилка середнього) визначається за формулою

. (4)

Можна спостерігати, що середня квадратична помилка середнього з n вимірювань менша за середню квадратичну помилку в разів. Тому для зменшення випадкової помилки при вимірюваннях шукану величину бажано визначити декілька разів, як правило, не менше 4-5.

Для оцінки істинного значення х вимірюваної величини необхідно знати її середнє значення і величину інтервалу довіри ± Dх, у якому із заданою імовірністю (надійністю) a знаходиться істинне значення х. Похибка вимірювання (величина половини інтервалу довіри) Dх при надійності a залежить від кількості вимірювань та визначається за формулою

Dх = t_a^.S_x, (5)

де t_a - коефіцієнти Стьюдента (для надійності a = 0,95. Задана кількість вимірювань n та значення t_a наведені в табл. 1.

Таблиця 1

Кінцевий результат вимірювань, що проводились, записують у формі ± Dх.

Якість результатів вимірювання більш наочно характеризується відносною похибкою - відношенням похибки (Dх) до середнього арифметичного значення вимірюваної величини (або до істинного значення цієї величини, якщо воно відоме):

або (6)

Дуже часто величина, яка цікавить експериментатора, знаходиться не прямим методом, а побічним. Для цього потрібно виміряти ряд інших величин, а ту, що потрібно, знайти, підставивши значення, яке знайшли, у формулу, яка виражає залежність шуканої величини від вимірюваних. У цьому випадку точність кінцевого результату залежить від похибок вимірювань кожної величини.

Якщо шукана величина є сумою (або різницею) двох і більше вимірюваних величин y= х₁ ± х₂ ±х₃ ±... ± х_n, то середня арифметична похибка шуканої величини

. (7)

Середня квадратична похибка при цьому

, (8)

а відносна похибка:

_- для y= х₁+ х₂

; (9)

_- для y= х₁- х₂

. (10)

Якщо шукана величина являє собою добуток або частку від ділення двох незалежно виміряних величин (y = x₁^.x₂, або y = x₁^./x₂), то в цьому випадку відносну похибку можна знайти за формулою

. (11)

При обробці результатів вимірювань треба пам’ятати, що точність обчислювань повинна бути узгоджена з точністю самих вимірювань. Експериментатори, які починають свою діяльність, часто обчислюють шукану величину з точністю до 5-6 і більше десяткових знаків. Слід розуміти, що обчислення, які виконані з більшим, ніж треба, числом десяткових знаків призводять до більшого обсягу непотрібної праці й створюють необгрунтоване враження про високу точність вимірювань, свідчать про недостатність математичної освіти. Числове значення результатів не повинне містити більшого числа цифр, ніж число, що виміряне з найменшою точністю.

Кінцевий результат указують з точністю до останнього десяткового знака, тобто, якщо наведене число 3,274, то при цьому мається на увазі, що цифра 7 визначена точно, а 4 - наближено. Помилку всюди, де надається можливість, бажано вказувати (наприклад, 3,274±0,002). Якщо похибка вимірювань більша (наприклад, Dх = 0,012), то в скороченій формі кінцевий результат буде виглядяти як 3,27, а не 3,274. У той же час при Dх = ±0,0003 результат треба записувати як 3,2740.

Поиск по сайту: