Еквівалентність схем

Розробники схем часто намагаються скоротити число вентилів, щоб знизити ціну, зменшити площу схеми, скоротити споживання енергії і т.д. Щоб спростити схему, розробник повинний знайти іншу схему, що може обчислювати ту ж функцію, але при цьому вимагає меншої кількості вентилів (або може працювати з більш простими вентилями, наприклад двовходовими замість чотиривходових). Булева алгебра є інструментом у пошуку еквівалентних схем.

Як приклад використання булевої алгебри розглянемо схему і таблицю істинності для АВ+АС (рис. 4.5 а). Багато правил звичайної алгебри мають силу для булевої алгебри. Наприклад, вираз АВ+АС може бути перетворений в А(В+С) за допомогою дистрибутивного закону. На рис. 4.5 б показана схема і таблиця істинності для А(В+С). Дві функції є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли обидві функції приймають те саме значення для всіх можливих змінних. З таблиць істинності на рис. 4.5 видно, що А(В+С) еквівалентно АВ+АС. Незважаючи на цю еквівалентність, схема на рис. 4.5 б краща, ніж схема на рис. 4.5 а, оскільки вона містить менше вентилів.

Як правило, розробник виходить з визначеної булевої функції, а потім застосовує до неї закони булевої алгебри, щоб знайти більш просту функцію, еквівалентну вихідній. На основі отриманої функції можна конструювати схему.

Щоб використовувати даний підхід, потрібні деякі рівності з булевої алгебри. У табл. 1 показані деякі основні закони. Треба відзначити, що кожний закон має дві форми. Одну форму з іншої можна одержати, змінюючи І на АБО і 0 на 1. Усі закони можна легко довести, склавши їхні таблиці істинності. Майже у всіх випадках результати очевидні, за винятком законів де Моргана, законів поглинання і дистрибутивного закону А+ВС=(А+В)(А+С). Закони де Моргана поширюються на вирази з більше ніж двома змінними, наприклад .

а) б)

Рис. 4.5. Дві еквівалентні функції: АВ+АС (а); А(В+С) (б).

Таблиця 5.1 - Деякі закони булевої алгебри

Назви законів	І	АБО
Закони тотожності	1А=А	0+А=А
Закони нуля	ОА=0	1+А=1
Закони ідемпотентності	АА=А	А+А=А
Закони інверсії	А =0	А+ =1
Комунікативні закони	АВ=ВА	А+В=В+А
Асоціативні закони	(АВ)С=А(ВС)	(А+В)+С= А+(В+З)
Дистрибутивні закони	А+ВС= (А+В)(А+С)	А(В+С)=АВ+АС
Закони поглинання	А(А+В)=А	А+АВ=А
Закони Де Моргана

Закони Де Моргана припускають альтернативний запис. На рис. 4.6 а форма І дається із запереченням, що показується за допомогою інвертуючи входів і виходів. Таким чином, вентиль АБО з інвертованими вхідними сигналами еквівалентний вентилеві НЕ-І. З рис. 4.6 б, на якому зображена друга форма закону Де Моргана, ясно, що замість вентиля НЕ-АБО можна намалювати вентиль І з інвертованими входами. За допомогою заперечення обох форм закону Де Моргана приходимо до еквівалентних репрезентацій вентилів І і АБО (див. рис. 4.6 в і 4.6, г). Аналогічні символічні зображення існують для різних форм закону Де Моргана (наприклад, n-вхідний вентиль НЕ-І стає вентилем АБО з інвертованими входами).

а) б)

в) г)

Рис. 4.6 - Альтернативні позначення деяких вентилів: НЕ-І (а); НЕ-АБО (б); І (в); АБО (г)

Використовуючи рівняння, зазначені на рис. 4.6 і аналогічні рівняння для багатовхідних вентилів, можна легко перетворити суму добутків у чисту форму НЕ-І або чисту форму НЕ-АБО.

Як приклад розглянемо функцію ВИКЛЮЧНЕ АБО (рис. 4.7 а). Стандартна схема, що виражає суму добутків, показана на рис. 4.7 б. Щоб перейти до форми НЕ-І, потрібно лінії, що з'єднують виходи вентилів І з входом вентиля АБО, намалювати з інвертуючими входами і виходами, як показано на рис. 4.7 в. Потім, застосовуючи рис. 4.6 а, приходимо до рис. 4.7 г. Змінні і можна одержати з А і В, використовуючи вентилі НЕ-І або НЕ-АБО з об'єднаними входами. Відзначимо, що інвертуючі входи (виходи) можуть переміщатися уздовж лінії за бажанням, наприклад, від виходів вхідних вентилів до входів вихідного вентиля.

а) б)

в) г)

Рис. 4.7 - Таблиця істинності для функції ВИКЛЮЧнЕ АБО (а); три схеми для обчислення цієї функції (б-г)

Дуже важливо відзначити, що той самий вентиль може обчислювати різні функції в залежності від використовуваних угод. На рис. 8 а показано вихід певного вентиля, F, для різних комбінацій вхідних сигналів. І вхідні, і вихідні сигнали показані у вольтах. Якщо прийняти угоду, що 0 В – це логічний нуль, а 3,3 В або 5 В – логічна одиниця, одержимо таблицю істинності, показану на рис. 4.8 б, тобто функцію І. Така угода називається позитивною логікою. Однак якщо прийняти негативну логіку, тобто прийняти, що 0 В – це логічна одиниця, а 3,3 В або 5 В – логічний нуль, то одержимо таблицю істинності, показану на рис. 4.8 в, тобто функцію АБО.

Таким чином, все залежить від того, яка угода обрана для відображення вольтів у логічних величинах.

	А В F 0v 0v 0v 0v 5v 0v 5v 0v 0v 5v 5v 5v

а) б) в)

Рис.5.8 - Електричні характеристики пристрою (а); позитивна логіка (б); негативна логіка (в)

Поиск по сайту: