Операции над матрицами

· Две матрицы А и В равны, если они имеют одинаковую размерность и a =b , т.е. равны соответственно расположенные элементы.

· Две матрицы одинаковой размерности можно суммировать: С = А + В, причем результатом будет поэлементная сумма: с =а +в :

· Матрицу любой размерности можно умножить на число . Это значит - умножить на это число все элементы матрицы: А = (а )=( а )

· Матрицу А можно умножить на матрицу В тогда и только тогда, когда число столбцов у А, т.е. n, равно числу строк у В. Результатом будет матрица С . Элемент с этой матрицы равен сумме произведений элементов строки № i в матрице А на элементы столбца № j в матрице В. Примеры:

= ;

Несколько матриц множим по очереди: А В С = (АВ) С = D .

Отметим, что, в отличие от числовой арифметики, матрицы редко подчиняются правилу АВ=ВА. Чаще всего АВ ВА, если такая перестановка в принципе возможна. В немногих случаях, когда равенство соблюдается, А и В называются коммутирующими матрицами. Особого практического значения они не имеют.

Транспонирование матриц и его свойства

Так же, как в определителях, транспонирование - это замена строк столбцами: если А = , то А =.

Приведем основные свойства транспонирования, которые легко доказываются вычислением:

· Двойное транспонирование возвращает исходную матрицу:

(А ) = А.

· Транспонирование суммы матриц эквивалентно сумме транспонированных слагаемых: (А+В) =А +В .

· Транспонирование произведения двух матриц эквивалентно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:

(АВ) = В А .

· Произведение матрицы на свою транспонированную: А А или АА всегда имеет результатом симметричную квадратную матрицу.

· Если матрица А - квадратная, то значение ее определителя не зависит от транспонирования: D(A)=D(A ).

Поиск по сайту: