Формула трапеций

Точность расчетов с помощью теоремы о среднем существенно зависит, как было показано, от визуального назначения по графику точки . Действительно, выбрав, в том же примере, точки или , можно получить другие значения интеграла, причем погрешность может и увеличиться. Субъективные факторы, масштаб графика и качество рисования сильно влияют на результат. Это неприемлемо в ответственных расчетах, поэтому теорема о среднем применяется только для быстрой качественной оценки интеграла.

В этом разделе рассмотрим один из самых популярных способов приближенного интегрирования – формулу трапеций. Основная идея построения этой формулы исходит из того, что кривую можно приближенно заменить ломаной линией, как показано на рисунке.

Тогда из геометрического смысла определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей нескольких прямоугольных трапеций. Ясно, что чем точнее проводится ломаная (т.е., чем больше прямолинейных отрезков в ее составе), тем ближе она к реальной кривой и сумма площадей элементарных трапеций сходится к точному значению площади криволинейной трапеции и, следовательно, к значению данного интеграла

Примем, для определенности (и в соответствии с рисунком), что интервал интегрирования разбит на равные (это необязательно, но очень удобно) части. Длина каждой из этих частей вычисляется по формуле и называется шагом. Абсциссы точек разбиения, если задано , определятся по формуле , где . По известным абсциссам легко вычислить ординаты . Таким образом,

_.

Это и есть формула трапеций для случая . Отметим, что первое слагаемое в скобках является полусуммой начальной и конечной ординат, к которой прибавляются все промежуточные ординаты. Для произвольного числа разбиений интервала интегрирования общая формула трапеций имеет вид

_.

Точность формулы трапеций зависит от принимаемого (самостоятельно) числа разбиений . Хотя в учебной литературе приводятся способы оценки погрешности этой формулы, на практике удобно произвести два расчета (в ответственных задачах) при разных значениях . На пример, при и . Если результаты близки, то расчет заканчивается, иначе рекомендуется повторить вычисления при или . Расчеты удобно производить в табличной форме или на компьютере.

Отметим, что имеется большой ряд и других способов численного интегрирования или, иначе, квадратурных формул: прямоугольников, Симпсона, Гаусса и т.д. Они строятся на той же идее представления криволинейной трапеции элементарными площадями различной формы, поэтому, после освоения формулы трапеций, разобраться в аналогичных формулах не составит особого труда. Многие формулы не так просты, как формула трапеций, но позволяют получить результат высокой точности при малом числе разбиений .

С помощью формулы трапеций (или аналогичных) можно вычислять, с нужной на практике точностью, как «неберущиеся» интегралы, так и интегралы от сложных или громоздких функций.

Примеры решения задач

Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов.

1. Вычислить интеграл .

Первообразная: .Отметим, что произвольную константу C можно здесь не записывать, т.к. она в следующей операции уничтожается. По формуле Ньютона-Лейбница:

Вычисление значения интеграла обычно принято записывать цепочкой, без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница.

2. Вычислить интеграл .

3. Вычислить интеграл .

.

Для сокращения преобразований при замене переменной удобно сразу перевычислять верхний и нижний пределы. Это позволяет избежать обратной замены в получаемой первообразной, что упрощает вычисления. Так, для данного примера можно записать:

.

Мы получили тот же результат, без обратного перехода к радикалу .

4. Вычислить интеграл .

5. Вычислить интеграл .

При интегрировании по частям рекомендуется сначала полностью определить первообразную, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница.

6. Вычислить интеграл .

Вычисление интеграла с переменным верхним пределом не отличается от обычной схемы. Но ответом будет не число, а функция аргумента x. Для удобства переменную интегрирования обозначим через t.

.

7. Вычислить интеграл .

Несобственные интегралы первого рода вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с применением теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

Здесь использована известная формула или, более строго, .

Ответ: интеграл сходится к значению .

8. Вычислить интеграл .

Здесь учтено, что

Ответ: интеграл расходится.

9. Оценить значение интеграла с помощью теоремы о среднем.

В этом примере выберем середину интервала . Тогда:

Точное значение интеграла равно 1,12 - т.е. погрешность составила 7%.

10. Вычислить интеграл по формуле трапеций.

Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегрирования на пять интервалов. Длина интервала , следовательно:

В нашем примере . Для вычисления удобно оформить расчеты следующей таблицей:

№	xi
	00,0	1,0000
	00,2	0,9615
	00,4	0,8621
	00,6	0,7353
	00,8	0,6098
	11,0	0,5000

Для ясности пределы интегрирования (f(a) и f(b)) отчеркнуты.

В соответствии с формулой трапеций:

Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила 0,2%. Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение интеграла будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким образом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.

Поиск по сайту: