Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексное число изображается в виде вектора с началом в точке и концом в точке . Угол между действительной осью Ох и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа (рис. 10.4).

Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, если по движению часовой стрелки – отрицательной. Аргумент комплексного числа записывается так: = или = ().

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 . Аргумент комплексного числа определяется однозначно, если область его изменения ограничить промежутком величины 2 . В качестве такого промежутка принято брать один из следующих промежутков , . Такое значение аргумента называется главным значением аргумента . Так как аргумент определяется с точностью до слагаемого , то

. (10.7)

Из рисунка видно, что

, (10.8)

, .

Запишем формулы для вычисления главного значения аргумента, принадлежащие промежутку :

(10.9)

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти:

1) модуль этого числа ; изобразить точку и выбрать нужное значение аргумента этого числа;

1) записать , воспользовавшись соотношением (2.8). Получаем тригонометрическую форму комплексного числа

= . (10.10)

10.1.3. Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме

При умножении двух или нескольких чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

(10.11)

При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя:

. (10.12)

При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль его возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т. е.

, (10.13)

где . Эта формула называется формулой Муавра.

Корень -й степени из комплексного числа = имеет различных значений, которые находятся по формуле

, (10.14)

где = 0, 1, 2,…, –1.

Пример 8.Записать комплексное число в тригонометрической форме.

Решение.Чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле (10.5) находим

Затем подсчитываем главное значение аргумента . Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны (). По формуле (10.9) главное значение аргумента совпадает с

Тогда .

Ответ: .

Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение. Данное число является вещественным и отрицательным, а главное значение его аргумента (см. формулу (10.9)) равно . Подсчитаем модуль числа

Модуль и аргумент числа –5 найдены, по формулам (10.7) – (10.9) имеем .

Ответ: .

Пример 10. Найти аргумент числа

Решение.Вещественные и мнимые части данного числа отрицательны и по формуле (2.9) главное значение аргумента его совпадает с

.

Следовательно, .

Пример 11.Найти произведение чисел , где

, .

Решение. = = .

Ответ: = .

Пример 12. Найти произведение чисел , где

, .

Решение.

= .

Ответ: = .

Пример 13.Найти частное чисел и , где

, .

Решение.

= =

.

Ответ: = .

Пример 14.Найти , где .

Решение.Возводим в шестую степень , согласно формуле (10.13):

= .

Ответ: = .

Пример 15. Найти .

Решение.Поскольку = , то состоит из чисел

= = ,

где (см. формулу (10.14)).

Задаем k = 0, получим = ;

k = 1, получим = ;

k = 2, получим =

Ответ: = ; = ;

Пример 16. Найти .

Решение. Поскольку = , то состоит из чисел

= .

Задаем . Получаем = ,

= ,

= .

Ответ: , = , = .

Отметим, что точки плоскости (рис. 2.5) являются вершинами правильного треугольника. Это не случайно – для любого и любого корни степени n из числа являются вершинами правильного -угольника с центром в нуле (рис. 2.5).

2.2. Задачи более сложного типа

Пример 17. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней .

Решение.Если – корень уравнения с действительными коэффициентами, то и – тоже корень этого уравнения. Тогда левая часть квадратного уравнения раскладывается на множители

т. е. искомое квадратное уравнение имеет вид . Этот же результат можно получить, производя решение по формуле Виета.

Ответ: .

Пример 18.Решить уравнение .

Решение.Так как два комплексных числа и называются равными, если и , то преобразуем наше уравнение к виду

,

тогда решая уравнения

получаем

Ответ:

Пример 19. Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия: .

Решение. Поскольку , имеем . Действительные числа изображаются точками оси абсцисс (рис. 2.6), значит, мы имеем область – вертикальную полосу, ограниченную прямыми: и (точки прямой в область не входят, поэтому эта прямая изображена пунктиром).

Пример 20.Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

.

Решение. Поскольку , имеем

.

Найдем модуль полученного комплексного числа

| |=

По условию

, или

,

.

Выделяя полные квадраты по и , получим

Это неравенство представляет собой внутренность кольца (рис. 2.7), т. к. левая часть двойного неравенства – область, лежащая вне круга радиусом 1с центром в точке С (–0,5; 0,5), правая часть – круг с центром в точке С и радиусом, равным 2 (границы окружностей в область не входят, поэтому они изображены пунктиром).

Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения , если .

Решение.Имеем

= = .

Анализируя полученное = , делаем вывод, что наибольшее значение равно (при ), а наименьшее значение равно (при ).

Ответ: наибольшее значение = 3 (при ), а наименьшее значение = 1 (при ).

Пример 22.Решить неравенство

. (*)

Решение.ОДЗ: , отсюда ; находя модуль, имеем или , тогда .

Из (*) имеем , по определению . Из последнего неравенства имеем , преобразовывая, получаем , т. е. или , окончательно .

При условии получаем, что неравенству (*) удовлетворяет множество [–3;1) (–1;1].

Ответ: [–3;1) (–1;1].

Вопросы и задания для самоподготовки

1. Какое число называется мнимой единицей?

2. Назвать комплексные числа в алгебраической форме?

3. Перечислить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

4. Назвать геометрический образ комплексного числа?

5. Назвать комплексные числа в тригонометрической форме?

6. Какое значение аргумента называется главным?

7. Назвать действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме?

8. Записать формулу, по которой осуществляется возведение комплексного числа в целую положительную степень.

9. Записать формулу, по которой находится корень -й степени из комплексного числа.

10. Вершинами чего являются корни степени из числа ?

Поиск по сайту: