АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Общая схема исследования функции и построения графиков

Читайте также:
  1. I. Предмет исследования
  2. I. Прокурор: понятие, положение, функции и профессиональные задачи.
  3. I. Раздел общая дерматология.
  4. I. Функции окончания «-s»
  5. I. Функции окончания «-s»
  6. III Участники игры и их функции
  7. III. Методы оценки функции почек
  8. III. Общая ответственность за вред
  9. III. Полномочия и функции территориального фонда
  10. III. Схематическое изображение накопления
  11. III. Ценности практической методики. Методы исследования.
  12. IV. МИРОВАЯ СХЕМАТИКА

В современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов:

· Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть.

· Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида.

· Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью оХ.

· Вычисляются производные и .

· Определяются экстремумы функции.

· Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции.

· Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот.

· При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках.

· Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.

 

Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.

 

Примеры решения задач

 

Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования на практике являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.

 

1. Вычислить

Решение:

 

Ответ: 1,5.

2. Вычислить

Решение:

Ответ: функция – бесконечно малая при .

3. Вычислить

. Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.

 

Возможны два варианта:

или

Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим:

.

Ответ: функция – бесконечно малая при

4. Вычислить

Здесь имеет место случай Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем:

.

Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.

Ответ: 1.

5. Найти экстремумы функции

Найдем производную функции:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум.

6. Найти экстремумы функции .

Дифференцируем:. Производная, очевидно, не существует при х =0. Кроме того, она равна 0 при х =1. Следовательно, имеем две стационарные точки х 1=0 и х 2=1. Опять используем первое достаточное условие:

Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:

 

Таким образом, заданная функция имеет максимум при х =0 и минимум при х =1. Соответствующие экстремальные значения: у max= f (0)=...=1, y min= f (1)=...= –2.

Ответ: у max=1, y min= –2.

 

7. Найти экстремумы функции у = 3 – 2 х 2 + х 4

Дифференцируем: .

Стационарные точки: , откуда ; .

Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом:

,

т.е. является точкой максимума и

,

т.е. является точкой минимума и

.

,

т.е. является второй точкой минимума и

.

 

8. Исследовать выпуклости функции у =3 х 4 – 4 х 3.

Дифференцируем:

Стационарные значения для второй производной: 36 х 2 – 24 х =0, откуда х 1=0 и х 2=

Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.

 

Ординаты точек перегиба:

9. Исследовать функцию и построить ее график.

· ОДЗ этой функции: x >0. Вертикальная асимптота: х =0.

· Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида.

· Определим точку пересечения с осью Ox: , откуда и х = 1.

· Дифференцируем:

· Определим стационарные точки. Значение х =0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х = е.

· Выберем второе достаточное условие.

Вторая производная: .

Тогда, т.е. точка х = е является точкой максимума и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.

 

 

· Определим выпуклости заданной функции.Стационарные значения второй производной , откуда х = е 1,5. Таким образом, точка х = е 1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината у пер.=...= .

· Проверим горизонтальную асимптоту:

, следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Правило Лопиталя.

2. Возрастание и убывание функций.

3. Необходимое условие экстремума.

4. Первое достаточное условие экстремума.

5. Второе достаточное условие экстремума.

6. Глобальные экстремумы.

7. Выпуклость и вогнутость функции.

8. Асимптоты.

9. Общая схема исследования функции и построение графиков.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)