|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Общая схема исследования функции и построения графиковВ современных условиях построение графиков осуществляется на практике, как правило, по точкам или с помощью компьютера. Однако в задачах с повышенной ответственностью необходимо использовать описанные выше приемы. Полная последовательность анализа функции и построения ее графика состоит из следующих этапов: · Находится область определения функции и вертикальные асимптоты, если они есть. · Устанавливается тип функции: четная, нечетная, общего вида. · Из решения уравнения определяются корни функции, т.е. точки ее пересечения с осью оХ. · Вычисляются производные и . · Определяются экстремумы функции. · Определяются точки перегиба и исследуются выпуклости функции. · Проверяется наличие горизонтальных и наклонных асимптот. · При необходимости детализации, вычисляются значения функции в нескольких дополнительных точках. · Все полученные результаты отображаются на плоскости, и строится график.
Расчеты и отображение результатов обычно делаются одновременно. Этапы 2, 6 и 7, во многих случаях, можно опустить.
Примеры решения задач
Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования на практике являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение графиков функций. Приведем типовые примеры по теме.
1. Вычислить Решение:
Ответ: 1,5. 2. Вычислить Решение: Ответ: функция – бесконечно малая при . 3. Вычислить . Для раскрытия неопределенности такого типа следует предварительно преобразовать произведение в дробь.
Возможны два варианта: или Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя первый вариант, получим: . Ответ: функция – бесконечно малая при 4. Вычислить Здесь имеет место случай Для раскрытия таких пределов удобно сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило Лопиталя. Имеем: . Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1. Ответ: 1. 5. Найти экстремумы функции Найдем производную функции: Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки. Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум. 6. Найти экстремумы функции . Дифференцируем:. Производная, очевидно, не существует при х =0. Кроме того, она равна 0 при х =1. Следовательно, имеем две стационарные точки х 1=0 и х 2=1. Опять используем первое достаточное условие: Здесь для определения знаков производной в интервалах вычислялись:
Таким образом, заданная функция имеет максимум при х =0 и минимум при х =1. Соответствующие экстремальные значения: у max= f (0)=...=1, y min= f (1)=...= –2. Ответ: у max=1, y min= –2.
7. Найти экстремумы функции у = 3 – 2 х 2 + х 4 Дифференцируем: . Стационарные точки: , откуда ; . Используем второе достаточное условие. Вторая производная: . Таким образом: , т.е. является точкой максимума и , т.е. является точкой минимума и . , т.е. является второй точкой минимума и .
8. Исследовать выпуклости функции у =3 х 4 – 4 х 3. Дифференцируем: Стационарные значения для второй производной: 36 х 2 – 24 х =0, откуда х 1=0 и х 2= Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом, заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем при х < 0 и х > функция вогнутая, а при 0 < x < функция выпуклая.
Ординаты точек перегиба: 9. Исследовать функцию и построить ее график. · ОДЗ этой функции: x >0. Вертикальная асимптота: х =0. · Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция – общего вида. · Определим точку пересечения с осью Ox: , откуда и х = 1. · Дифференцируем: · Определим стационарные точки. Значение х =0 исключаем, как не вошедшее в ОДЗ. Тогда: , откуда х = е. · Выберем второе достаточное условие. Вторая производная: . Тогда, т.е. точка х = е является точкой максимума и . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x > e.
· Определим выпуклости заданной функции.Стационарные значения второй производной , откуда х = е 1,5. Таким образом, точка х = е 1,5 является точкой перегиба, причем слева от нее функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината у пер.=...= . · Проверим горизонтальную асимптоту: , следовательно, ось оХ является горизонтальной асимптотой.
Вопросы для самоконтроля: 1. Правило Лопиталя. 2. Возрастание и убывание функций. 3. Необходимое условие экстремума. 4. Первое достаточное условие экстремума. 5. Второе достаточное условие экстремума. 6. Глобальные экстремумы. 7. Выпуклость и вогнутость функции. 8. Асимптоты. 9. Общая схема исследования функции и построение графиков.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |