( и – действительные числа, – мнимая единица), если для любых комплексных чисел и введены операции по следующим правилам:
1) два комплексных числа и называются равными, если и ;
2) суммой и разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число
; (10.2)
3) произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число
. (10.3)
Степени числа :так как то
(10.4)
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа, где действительная часть числа и обозначается , а – мнимая часть числа и обозначается . Тогда комплексное число можно записать как .
Любое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа 0, 1, записываются соответственно в виде , , . Если , комплексное число обращается в чисто мнимое число . Комплексное число (отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом . Комплексные числа и называются противоположными. Модулем комплексного числа называют число :
. (10.5)
Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число , причем тогда и только тогда, когда . Из определения модуля комплексного числа следует, что для любых комплексных чисел справедливы соотношения
; , если , (10.6)
для любого целого числа (при предполагается, что ).
Каков геометрический образ комплексного числа ? Комплексное число изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами . Действительные числа изображаются точками оси -ов. Чисто мнимые числа – точками оси -ов. Ось -ов – действительная ось. Ось -ов – мнимая ось. Точка А, соответствующая комплексному числу называется аффиксом данного комплексного числа.
Каждой точке плоскости с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке О (0,0)и концом в точке А. Поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора с началом в точке и концом в точке (рис. 10.2).
Пример 1.Записать аффиксы следующих комплексных чисел и построить соответствующие им радиусы-векторы: 1) 2) 3) ; 4) ; 5) .
Решение.
1) М1(2, 0);
2) М2(–3, 0);
3) М3(0, 3);
4) М4(0, –2);
5) М5(2, 3) (рис. 10.1).
Пример 2.Найти множество точек, для которых .
Решение.Точки искомого множества удовлетворяют неравенству , т. к. (рис. 10.3).
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг(0.006 сек.)