Тренировочные задачи

Вычислить пределы:

· .

Ответ: 4,5

· .

Ответ: 0

·

Ответ: 1

·

Ответ: 1,25

·

Ответ: 0,125

·

Ответ: 0,6

Лекция 6. Производная и дифференциал функции

Вопросы для изучения:

1.Определения. Геометрический и физический смысл.

2.Табличные производные.

3. Производная сложной функции.

4. Логарифмическое дифференцирование.

Определения. Геометрический и физический смысл

Приращением функции у=f(x) в интервале Dх называется разность D у=f(х+Dх)-f(x). Если D у >0, то функция на интервале возрастает; при D у <0 - убывает; при D у =0 – не изменяется.

Предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю называется производной функции:

Другие, эквивалентные, обозначения:

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная - скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала a , называется дифференцируемой в данном интервале.

Табличные производные

С помощью определения можно вычислять производные функций. Пример:

y= f(x)=x² f(x+ x)=(x+ x)²=x²+2x x+( x)² y=
f(x+ x) - f(x)=2x x+( x)².

Отсюда и

Совершенно аналогично можно получить и производные любых других функций. На этой основе разработана и постоянно используется стандартная таблица производных:

Теоремы дифференцирования

Так же, как и при вычислении пределов, математика разработала ряд теорем, ускоряющих вычислительную работу. Приведем их без доказательств:

· Сумма: у=u(x) v(x) .

· Произведение: y=u v .

· Частное: y=

· Постоянный множитель: y=Cu

Поиск по сайту: