АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основные определения и понятия

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ
  2. I. Понятия о наследовании и наследстве
  3. I. Типичные договоры, основные обязанности и их классификация
  4. II. Основные моменты содержания обязательства как правоотношения
  5. II. Основные направления работы с персоналом
  6. II. Основные принципы и правила служебного поведения государственных (муниципальных) служащих
  7. II. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КОНЦЕПЦИИ
  8. II. Основные цели и задачи Программы, срок и этапы ее реализации, целевые индикаторы и показатели
  9. III Литературоведческие определения.
  10. III. Основные мероприятия, предусмотренные Программой
  11. III. Основные требования, предъявляемые к документам
  12. III.Выпишите из абзацев 4, 5, 6 словосочетания, в которых определения выражены существительными, и переведите их на русский язык.

Частный случай матрицы, состоящей из одного столбца, имеет широкое самостоятельное применение. Геометрическое изображение вектора направленным отрезком, известное из школьного курса, можно определить как совокупность проекций вектор-отрезка, записанных в виде матрицы-столбца. Тогда имеем понятие свободного вектора, не зависящего от точки приложения, которая может быть как в начале координат (радиус-вектор), так и в любой точке пространства. Направление вектора всегда строго сохраняется. Для двумерного случая: или ; или . Для общности, все проекции в дальнейшем обозначаются через х и называются координатами вектора. Если какая-то проекция х отрицательна, то она откладывается в противоположную сторону соответствующей оси координат.

Совершенно так же выглядят векторы = в трехмерной системе координат - добавляется координата z. Но векторы размерности более трех наглядно не представимы - они могут быть поняты только по аналогии. Общее определение: вектором в n -мерном пространстве называется упорядоченный набор n координат = , число которых равно размерности пространства, т.е. n.

 

Длина вектора определяется формулой d = . Все операции с векторами - те же, что и матрицами.

 

Рассмотрим линейную комбинацию трех векторов: k +k +k .

Если равенство k +k +k =0 возможно только при k =k =k =0, то векторы , и называются линейно независимыми. Иначе, по крайней мере, один из векторов можно выразить суммой двух других и векторы будут линейно зависимыми. Например, при k 0 можно записать: = (- k - k ).

 

Максимально возможное число линейно независимых векторов равно размерности пространства. Так, для плоскости возможны только два таких вектора, для прямой - один. Для n- мерного пространства число векторов равно n.

 

Пусть на плоскости имеются векторы , и . Покажем, что они линейно зависимы. Составим их линейную комбинацию: и перейдем к алгебраической форме:

.

Таким образом, положив k =1, имеем: или , т.е. третий вектор не является независимым и выражается суммой двух других или разлагается по двум другим векторам. Рассмотрим первые два вектора подробнее: и . Тогда - очень компактная запись через единичные векторы (или орты). Покажем, что орты линейно независимы: k + k = или , откуда k =k = 0.

 

Так как с и d произвольны, то, очевидно, любой вектор на плоскости можно представить комбинацией двух ортов и . Это называется разложением вектора по единичному базису или, точнее, по ортонормированному, т.к. длина каждого орта равна 1. Конечно, можно разлагать не по ортам, а по двум любым линейно независимым векторам (по общему базису), к примеру, и , но разложение с помощью ортов является и простым, и общим.

 

Все введенные выше понятия справедливы для пространства любой размерности. В n -мерном пространстве всегда имеются n линейно независимых ортов , ,..., , поэтому любой вектор можно разложить по ортонормированному базису: = а1 +а2 +...+аn . Разложение векторов по базису из линейно независимых векторов всегда единственно в любом принятом базисе.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)