АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формула Кирхгофа

Читайте также:
  1. II закон Кирхгофа
  2. II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
  3. III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
  4. Барометрическая формула
  5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  7. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  8. Бесконечная струна. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера.
  9. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  10. Виды и типы безработицы. Полная занятость и естественный уровень безработицы. Формула Оукена.
  11. Визначити енергію вибуху балону. Формула (3)
  12. Внешний фотоэффект и его законы. Формула Эйнштейна для фотоэффекта.

В середине XIX века немецкий физик Г.Кирхгоф (1984 – 1887 гг.) доказал, что решение поставленной задачи дается формулой:

, (4.1)

где – расстояние между текущей точкой поверхности и точкой наблюдения . Доказательство формулы Кирхгофа основывается на известной из курса математики теореме Грина, согласно которой дважды дифференцируемые функции и пространственных координат, удовлетворяют тождеству:

. (4.2)

Предположим, что как искомая функция , так и вспомогательная функция в области являются решениями одного и того же уравнения Гельмгольца

(4.3)

Очевидно, что в силу уравнений (4.3) левая часть формулы (4.2) обращается в нуль

. (4.4)

Будем считать, что вспомогательной функцией служит уже известное решение скалярного уравнения Гельмгольца

, (4.5)

описывающее расходящуюся сферическую волну. Здесь под подразумевается длина отрезка между выбранной точкой наблюдения и произвольной точкой внутри объема .

Поскольку функция в точке имеет особенность, исключим из области малый шар радиусом с центром в точке . Обозначив символом поверхность этого шара, на основании (4.4) можно записать

(4.6)

Следующим этапом вычислим подынтегральное выражение в левой части формулы (4.6), так как перемещение по направлению нормали к поверхности означает увеличение координаты , то

. (4.7)

Поэтому левую часть равенства (4.6) можно представить в виде

. (4.8)

Теперь устремим к нулю радиус вспомогательной сферы, учитывая, что искомое поле , по предположению, внутри не имеет источников и поэтому всюду ограничено и непрерывно. В подынтегральное выражение (4.8) входят слагаемые, обратно пропорциональные как первой степени, так и квадрату текущего радиуса. Легко проверить, что вклад слагаемых первой степени равен нулю:

, (4.9)

поскольку площадь сферы, равная , стремится к нулю быстрее, нежели ее радиус. В то же время

. (4.10)

На основании изложенного из равенства (4.6) получаем выражение для расчета искомого поля в точке

,

совпадающее с формулой Кирхгофа (4.1).


ГЛАВА 5. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ОТВЕРСТИИ В ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕМ ЭКРАНЕ

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)