Требования совместности условий

В общую постановку задачи оптимизации входят неравенства вида:

где п - число неизвестных; т - число неравенств. Если в каждое неравенство добавить переменную , то от системы неравенств можно перейти к системе урав­нений

.

В этой системе общее число неизвестных N = п + m, где п - число основных неизвестных , т - число дополни­тельных неизвестных y_i,которое равно числу уравнений.

Возможны три варианта соотношения величин N и т: N < т, N = m, N > т.

Пусть число неизвестных меньше, чем число уравне­ний. Например,

,

т.е. N = 1, т = 2. Очевидно, что эта система решения не имеет, т.е. нет таких значений х₁,которые бы удовлетво­ряли обоим уравнениям. В этом случае говорят, что систе­ма условий несовместна.

Если число неизвестных N меньше числа уравнений т, то система решения не имеет и является несовместной.

Пусть число неизвестных равно числу уравнений. Например,

Решением этой системы будут значения x = у = 1.

Линейная система, в которой число неизвестных N разно числу уравнений т, имеет одно решение.

Наличие или отсутствие решений при различных соот­ношениях числа переменных и числа уравнений справедли­во только для линейно независимых уравнений, которые не могут быть получены умножением, делением, сложением, вычитанием исходных уравнений. Например, пусть есть урав­нение З х = 6, из которого можно получить несколько: х = 2; 9 х = 18; 6 x = 12 и т. д. Все эти уравнения линейно зависи­мы и новых сведений о зависимостях для переменной не содержат. Поэтому в этом примере т = 1 (а не 4).

Аналогично в следующей системе есть только два ли­нейно независимых уравнения: так, уравнение (в) есть ре­зультат суммирования (а) и (б), а уравнение (г) есть резуль­тат деления (в) на 5:

Пусть число неизвестных больше числа уравнений. Напри­мер, . Очевидно, что все значения х₁ и х₂, лежа­щие на прямой этого уравнения, являются его решением. Зна­чит, это уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Если в системе число неизвестных N больше числа уравнений т, то такая система имеет бесчисленное мно­жество решений.

В случае, когда система имеет более одного возможного решения, может быть поставлена задача оптимизации. При этом суть такой задачи, как мы уже знаем, заключается в том, чтобы из всех допустимых решений, удовлетворяю­щих ограничениям и граничным условиям, выбрать такое, которое придает целевой функции оптимальное, т. е. мак­симальное или минимальное значение.

Если все ограничения и целевая функция линейны, задача оптимизации, как нам известно, является задачей линейного программирования.

Поиск по сайту: