Возможные обобщения метода множителей. Седловая точка функции Лагранжа

Здесь будут обсуждены вопросы относящиеся к оптимизационным задачам, содержащим ограничения вида и . Главное внимание уделяется изучению особенностей функции Лагранжа и связанных с ними условий сущест­вования экстремума.

Введем определение: точка , заданная своими координатами , является седловой, для функции , если неравенства выполнены для всех из некоторой окрестности .

Это определение относится к локальной седловой точке, поскольку требование выполнить указанные в нем неравенства связано лишь с теми , которые находятся «вблизи» . В том же смысле можно говорить и обо всех , представляющих интерес в той или иной задаче; соответствующая седловая точка рассматри­вается как глобальная.

Анализ необходимых условий существования таких точек будет проведен в предположении, что часть пере­менных не имеет ограничения на знак, остальные же должны быть либо неотрицательными, либо неполо­жительными; для конкретности при и ; при и ; произвольный знак имеют х_i и λ_i при , .

Пусть точка является седловой для . Рассмотрим две группы производных, считая, что тако­вые существуют: . Поскольку определена как точка максимума Ф по X и минимума по , производные ,должны обратиться в нуль при , если нет ограничений на знак этих .

Таким образом, для и для .

Чтобы понять, как ведут себя рассматриваемые производные при , достаточно выбрать переменную х_к с номером ипровести на ее примере необходимое исследование, cчитая все остальные переменные фиксированными.

Если как функция только х_к достигает мак­симума при , то ; но если (точка максимума Ф принадлежит границе об­ласти х_к 0), то можно ожидать либо либо (рис. 7). Повторив подобные рассуждения применительно к другим нетрудно полу­чить сводку необходимых условий существования .

(1)

причем всегда

Рис. 7 Рис. 8

Для анализа, достаточных условий введем определе­ние: некоторая функция F(X) называется выпуклой на интервале [ Х1,Х2 ], если при 0<a<1 (рис. 8). В основе опре­деления вогнутой на [ Х₁, Х₂ ] функции лежит неравенст­во противоположного смысла, причем часто употребляются термины «выпуклая вниз», «выпуклая вверх».

Пусть Ф(Х, ) является выпуклой (вверх) по X для всех X из -окрестности Х⁰, т.е.

это значит . Выбирая таким, что (сохраняются линейные члены разложения в ряд Тейлора), получаем

или .

Слагаемое интерпрети­руется, очевидно, как

Если, все эти соотношения рассматриваются при выполненных условиях (1), то,

Следовательно, - неположительная величина и тем более . Таким образом, из (1) и предположения о выпуклости вверх но X получено неравенство, присутствующее в определении седловой точки.

Считая теперь выпуклой (вниз) по вблизи , т.е. при , нетрудно придти к выводу: . Этим подтверждается достаточность общих условий (1) и требования « должна быть выпуклой по Х и вогнутой по в окрестности » для существования «седла».

Поиск по сайту: