Понятие множества. Основные определения

Элементы теории множеств

Понятие множества является фундаментальным неопределимым понятием, одно из основных, если не основное, понятий математики. Оно не имеет точного определения, и его следует отнести к аксиоматическим понятиям. Как правило, термин множество объясняется с помощью примеров, а потом указываются правила его использования в математических применениях. Последнее можно сделать на разных уровнях строгости. Детальное и строгое изложение теории множеств требовало бы скрупулезного анализа логики математических рассуждений, а это – специальная самостоятельная тема, которая относится к области основ математики. Для наших целей достаточно выбрать уровень так называемой интуитивной теории множеств.

Интуитивно под множеством понимается совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Можно говорить о множестве граней многоугольника, множестве точек на прямой, множестве натуральных чисел, множестве рациональных чисел, множестве операторов языка программирования, множестве языков программирования и т.д. Из этих примеров видно, что множество – это совокупность определенных различаемых объектов таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет. Вполне очевидно, что множество, которое подчиняется такому ограничению, может содержать объекты почти любой природы. Например: множество жителей города Сарова; множество студентов СарФТИ; множество автобусных маршрутов нашего города; множество станций московского метро; множество правых ботинок; множество символов кодов компьютера; множество идентификаторов в программе и т.д. Следует подчеркнуть, что о множестве можно вести речь только тогда, когда элементы множества различимы между собой. Например, нельзя говорить о множестве капель в стакане воды, т.к. невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Множества, все элементы которого являются числами, называются числовыми множествами. Множества, элементами которого являются другие множества, называются классом или семейством.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества. Например, 5 – элемент множества натуральных чисел, G – элемент множества букв латинского алфавита.

Таким образом, когда мы говорим о множестве, то объединяем некоторые объекты в одно целое, а именно в множество, элементами которого они являются.

Основатель теории множеств Георг Кантор определил формулировку интуитивного понятия множества следующими словами: «Произвольная совокупность определенных предметов нашей интуиции или интеллекта, которые можно отличить один от другого и которые представляются как единое целое, называется множеством. Предметы, которые входят в состав множества, называются его элементами».

Существенным пунктом канторовского понятия множества является то, что совокупность предметов рассматривается как один предмет («представляется как единое целое»). Основное внимание тут переносится с отдельных предметов на совокупности предметов, которые в свою очередь, можно рассматривать как предметы.

Что касается «предметов нашей интуиции или интеллекта», то эта формулировка дает значительную свободу прежде всего тем, что никак не ограничивает природу предметов, составляющих множество. Множество может состоять, например, из людей, простых чисел, точек пространства, планет Вселенной и т.д. Заметим, что канторовская формулировка множества дает возможность рассматривать множества, элементы которых по определенной причине точно задать невозможно.

Смысл выражений: «которые можно отличить один от другого» и «определенные предметы» заключается в следующем. В первом случае для любых двух предметов, которые рассматриваются как элементы данного множества, должна существовать возможность выяснить, различные эти предметы или одинаковые. Во втором случае, если задано некоторое множество и какой-нибудь предмет, то можно определить, является ли этот предмет элементом данного множества. Отсюда следует, что всякое множество полностью определяется своими элементами. Это канторовское требование формулируется как интуитивный принцип объемности или аксиома экстенсиональности, согласно которому два множества (А и В) равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов (обозначают А=В).

Таким образом, два множества равны, если каждый элемент одного из них является элементом другого и наоборот.

Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок {…}, внутри которых перечисляются элементы множества. Для обозначения конкретных множеств используют различные прописные буквы (М, Х, А,…), или прописные с индексами (М₁, М₂, …). Для обозначения элементов множества в общем случае используют различные строчные буквы, или строчные буквы с индексами. Для указания того, что некоторый элемент a является элементом множества А, используется символ принадлежности множеству Î[1]. Запись аÎА означает, что элемент а принадлежит множеству А, а запись аÏА означает, что элемент а не принадлежит множеству А. Записью а₁, а₂, … а_n ÎА пользуются в качестве сокращения для записи а₁ÎА, а₂ÎА, а₃ÎА, …а_nÎА.

Множества бывают конечными и бесконечными. Множество называют конечным, если число его элементов конечно, т.е. если существует натуральное число N, являющееся числом элементов множества. Множество называют бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов.

1.2 Способы задания множества

Существует два основных способа задания множества: перечисление и описание.

Например, множество отличников группы можно задать, перечислив студентов, которые учатся на “отлично”. Например: {Иванов, Сидоров, Петров,…}.

Для сокращения записи А={a₁, a₂, … a_n } иногда пишут A= , или вводят множество индексов I={1,2,….n} и пишут А={a_i}, iÎI. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Под свойством предмета х будем понимать такое повествовательное предложение, в котором нечто утверждается относительно предмета х и которое можно характеризовать как истинное или ложное по отношению к х (характеристический предикат).

Например, свойствами являются:

- 5 делит х;

- х² > 0.

Выражения:

- существует такой х, что 5х < 0;

- для всех х, y ху=ух

не являются свойствами, потому что их нельзя характеризовать как истинные или ложные относительно х.

Если обозначить Р(х) некоторое свойство, тогда Р(а) будет означать тоже самое свойство, но с заменой х на а. Задание множества в терминах свойств достигается с помощью интуитивного принципа абстракции или аксиомы свертки: всякое свойство Р(х) определяет некоторое множество А с помощью условия: элементами множества А являются те и только те предметы а, которые имеют свойства Р.

В силу принципа абстракции всякое свойство Р(х) определяет единственное множество, которое обозначают {a|Р(а)} и читают так: «множество всех тех предметов а, что Р(а)»

Так, если С – множество студентов группы, то множество О отличников этой группы запишется в виде:

.

“Множество О состоит из элементов s множества С, обладающих тем свойством, что s является отличником группы”.

В тех случаях, когда не вызывает сомнений из какого множества берутся элементы s, указание о принадлежности s множеству С можно опустить. При этом множество О запишется в виде:

.

Примеры:

А={x|x – четное} – множество целых четных чисел;

В={x|x²-1=0} – множество {-1, 1}.

Пусть N множество целых чисел. Тогда {nÎN| } есть множество {1,2,3,4,5,6,7}.

Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пусть А – некоторое множество, а Р(х) имеет вид х ¹ х, тогда множество {a|P(a)} = {a|a ¹ a}, очевидно, не имеет элементов. Из принципа объемности следует, что может существовать только одно множество, которое не имеет элементов. Это множество и называется пустым множеством.

Или, Пустыммножеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ.

Например, {nÎN| n²+2n+5=0}=Æ.

Пустое множество условно относится к конечным множествам.

Задание множества называют неизбыточным, если каждый элемент входит в данное множество в единственном экземпляре, и избыточным, если хотя бы один элемент входит в его состав более чем в одном экземпляре (мультимножества).

1.3 Равенство множеств

Как уже отмечалось, два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и тоже множество. Символ равенства множеств обладает свойствами:

· А=А – рефлексивность;

· если А=В, то В=А – симметричность;

· если А=В и В=С, то А=С – транзитивность.

Из определения равенства множеств вытекает:

1. порядок элементов в множестве несуществен. Например, множества {1,2,3,4} и {3,4,1,2} представляют собой одно и тоже множество;

2. в множестве не должно быть неразличимых элементов. Поэтому в множестве не должно быть одинаковых элементов. Например, запись множества А={6,7,8,6,9} следует рассматривать как А={6,7,8,9}1.

Но, множество, которое состоит из элементов некоторого множества А так, что эти элементы могут входить в состав этого множества в любом количестве экземпляров, называют мультимножеством множества А. С точки зрения теории множеств, множество и мультимножество – это один и тот же объект и они могут между собой не различаться. Однако часто, особенно когда речь идет о представлении множества в памяти ЭВМ, возникает потребность отличать множество от мультимножества.

1.4 Подмножество

Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент множества А принадлежит и множеству В.

Например, множество студентов группы является подмножеством студентов факультета; множество четных целых чисел может рассматриваться как подмножество множества натуральных чисел.

Для определения подмножества в теории множеств используются символы:

· " - символ, называемый квантором всеобщности. Запись " xозначает: “ любой х”, “каков бы ни был х”, “для всех х”, “для всякого х”; и т.п.

· $ - символ, называемый квантором существования. Запись $ xозначает: “существует такой х, что”;

· ® (или Þ) символ следствия (импликации), означающий “влечет за собой”; “если… то”;

· Û - символ эквивалентности, означающий “тогда и только тогда”, “то же самое”.

Тогда определение подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого х утверждение “х принадлежит А“ влечет за собой утверждение “х принадлежит В” запишется так:

1.1

Более краткой записью выражение “A является подмножеством B” будет запись

1.2

(Читается “В содержит А”).

Используемый здесь символ Í означает включение.

Если множество В содержит и другие элементы кроме элементов из А, то используют символ строгого включения Ì и обозначается это А Ì В. В этом случае А называется собственным подмножеством множества В

Связь между символами дается выражениями:

1.3

Свойства подмножеств:

· АÍА – рефлексивность; (AËA – иррефлексивность) 1.4

· [AÍB и BÍC] ® AÍC – транзитивность. 1.5

Следует отметить важное свойство, что для любого множества А пустое множество Æ Í A.

Если АÍВ и ВÍА, то множества А и В эквивалентны: А=В, т.е. все эле-менты А являются элементами В, а все элементы В являются элементами А.

Т.е. А=В Û ()

Определение. Множество всех подмножеств данного множества А называют булеаном или степеньюмножества А и обозначают β(А ) 1.

Формально β(А)={B| BÍA}. В частности заметим, что поскольку Æ Í А и А Í А, то Æ Î β(А); А Î β(А).

Пример. Пусть А={a,b,c}. Тогда β(А)={ Æ, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}.

1.5 Операции над множествами

1.5.1 Предварительные замечания

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре. Если а и b некоторые числа, то законы элементарной алгебры можно записать как:

1. a+b = b+a; a×b=b×a - коммутативный (переместительный) закон;

2. - ассоциативный (сочетательный) закон;

3. (a+b)×c=a×c+b×c - дистрибутивный (распределительный) закон.

Заметим, что в ассоциативном и коммутативном законах можно заменить действие сложения умножением, а действие умножения – сложением. При этом получим другой закон, который будет справедлив как и первый. Однако в дистрибутивном законе подобной симметрии нет. Если в этом законе заменить сложение умножением, а умножение сложением, то придем к абсурду

.

Всегда ли это так? Оказывается существуют алгебры, и именно алгебра множеств, в которой все три закона симметричны относительно действий “сложения” и “умножения”.

1.5.2 Объединение множеств

Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Объединение множеств А и В обозначается символом , т.е. .

Определение объединения множеств можно записать как

1.6

Объединение множеств иногда называют суммой множеств и обозначают А+В. Однако свойства объединения множеств несколько отличаются от свойств суммы при обычном арифметическом понимании. Поэтому термином сумма пользоваться не рекомендуется.

Поиск по сайту: