Задачі на формулу повної ймовірності та формули Бейеса

3.1. Є дві однакових шухляди з кулями. У першій шухляді 2 білих і 1 чорна кулі, в другій – 1 біла і 4 чорних кулі. Навмання вибирають одну шухляду і виймають з неї кулю. Яка ймовірність, що вийнята куля виявиться білою?

3.2. У цеху працюють 20 верстатів. З них 10 марки А, 6 марки В і 4 марки С. Ймовірність того, що якість деталі відмінна, для цих верстатів відповідно дорівнює: 0,9; 0,8 і 0,7. Який відсоток відмінних деталей випускає цех у цілому?

3.3. Припускають, що 5 % усіх чоловіків і 0,25 % усіх жінок дальтоніки. Навмання обрана особа страждає дальтонізмом. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що чоловіків і жінок однакове число)

3.4. На фабриці, що виготовляє болти, перша машина робить 25 %, друга – 35 %, третя – 40 % усіх виробів. У їхній продукції брак складає відповідно 5, 4 і 2 %. Яка ймовірність того, що випадково відібраний болт а) дефектний? б) він був зроблений першою, другою, третьою машиною?

3.5. Уся продукція цеху перевіряється двома контролерами, причому перший контролер перевіряє 55 % виробів, а другий – інші. Ймовірність того, що перший контролер пропустить нестандартний виріб дорівнює 0,01, другий – 0,02. Узятий навмання виріб, маркірований як стандартний, виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірявся другим контролером.

3.6. На підприємстві працюють дві бригади робітників: перша виробляє в середньому 0,75 продукції з відсотком браку 4 %, друга – 0,25 продукції з відсотком браку

6 %. Знайти ймовірність того, що узятий навмання виріб: а) виявиться бракованим; б) виготовлено другою бригадою за умови, що виріб виявився бракованим.

3.7. Троє робітників виготовляють однотипні вироби. Перший робітник виготовив 40 виробів, другий – 35, третій –25. Ймовірність браку у першого робітника 0,03, у другого – 0,02, у третього – 0,01. Взятий навмання виріб виявився бракованим. Визначити ймовірність того, що цей виріб зробив другий робітник.

3.8. За результатами перевірки контрольних робіт виявилося, що в першій групі одержали позитивну оцінку 20 студентів з 30, а в другій – 15 з 25. Знайти ймовірність того, що наугад вибрана робота, яка має позитивну оцінку, написана студентом першої групи.

3.9. В даний район вироби постачаються трьома фірмами у співвідношенні 5:8:7. Серед продукції першої фірми стандартні вироби складають 90 %, другої – 85 %, третьої –75 %. Знайти ймовірність того, що: а) придбаний виріб нестандартний; б) придбаний виріб стандартний. Яка ймовірність того, що він вироблений третьою фірмою?

3.10. Два стрілки зробили по одному пострілу в ціль. Ймовірність влучення в мішень для першого стрільця дорівнює 0,6, а для другого – 0,3. У мішені виявилася одна пробоїна. Знайти ймовірність того, що вона належить першому стрільцеві.

3.11. Уся продукція цеху перевіряється двома контролерами, причому перший контролер перевіряє 55 % виробів, а другий – інші. Ймовірність того, що перший контролер пропустить нестандартний виріб дорівнює 0,01, другий – 0,02. Узятий навмання виріб, маркірований як стандартний, виявився нестандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірявся другим, контролером.

3.12. Ймовірність виготовлення виробу з браком на даному підприємстві дорівнює 0,04. Перед виготовленням виріб піддається спрощеній перевірці, яка у випадку бездефектного виробу пропускає його з ймовірністю 0,96, а у випадку виробу з дефектом – з ймовірністю 0,05. Визначити: а) яка частина виготовлених виробів виходить з підприємства? б) яка ймовірність того, що виріб, що витримав спрощену перевірку бракований?

3.13. В обчислювальній лабораторії є 6 клавішних автоматів і 4 напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання розрахунку автомат не відмовить дорівнює 0,95, для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. При виконанні розрахунків машина не відмовила. Яка ймовірність, що обчислення проводилися на напівавтоматі?

3.14. На базу надійшли швейні вироби, з яких 25 % виготовлені фабрикою №1,

35 % –фабрикою №2, і 40 % – фабрикою №3. Фабрика №1 випускає 99 % вищого ґатунку, №2 – 95 %, №3 – 97 %. Яка ймовірність того, що узятий навмання виріб є бракованим (не вищого ґатунку)?

3.15. З двадцяти стрільців чотири попадають у мішень з ймовірністю 0,9; десять – з ймовірністю 0,8 і шість – з ймовірно 0,6. Знайти ймовірність того, що навмання обраний стрілець влучить у мішень.

3.16. На склад надійшли однакові холодильники, зроблені двома заводами. Перший завод поставляє 70 %, другий – 30 % усієї кількості. Перший завод випускає 90 % продукції, здатної прослужити гарантійний термін, другий – 95 %. Визначити ймовірність того, що навмання узятий холодильник прослужить гарантійний термін?

3.17. В одній шухляді 20 стандартних і 5 нестандартних деталей, у другій – 8 стандартних і 3 нестандартні деталі. З першої шухляди в другу навмання переклали одну деталь, потім із другої вийняли одну деталь. Яка ймовірність того, що вона стандартна?

3.18. У піраміді встановлено 10 гвинтівок, з яких 4 обладнані оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець вразить мішень із гвинтівки, обладнаної оптичним прицілом дорівнює 0,95, з гвинтівки без прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець влучив в мішень з навмання взятої гвинтівки. Що імовірніше: стрілець стріляв із гвинтівки з прицілом або без нього?

3.19. Два автомати роблять деталі, що надходять на один конвеєр. Ймовірність одержання неполагодженої деталі на першому автоматі 0,06, на другому – 0,09. Продуктивність другого автомата вдвічі більша за першого. Знайти ймовірність того, що навмання взята з конвеєра деталь буде неполагодженою.

3.20. У магазин надійшли вироби з двох заводів, причому з першого надходить виробів у 3 рази більше, ніж із другого. Перший завод випускає в середньому 0,5 % браку, другий – 0,2 %. Придбаний в магазині виріб бракований. Яка ймовірність того, що він випущений на першому заводі?

3.21. У телеательє є 4 кінескопи. Ймовірність витримати гарантійний термін служби для кожного кінескопа відповідно дорівнює 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Знайти ймовірність того, що узятий навмання кінескоп витримає гарантійний термін.

3.22. Для деякої місцевості середнє число дощових днів у липні дорівнює 10. Яка ймовірність того, що перше і друге липня будуть дощовими?

3.23. Збирач одержав 3 коробки деталей, виготовлених заводом №1 і 2 коробки – заводом №2. Ймовірність того, що деталь заводу №1 стандартна, дорівнює 0,8, а заводу №2 – 0,9. Збирач навмання взяв деталь з навмання обраної коробки. Знайти ймовірність того, що взята деталь стандартна.

3.24. Страхова компанія поділяє застрахованих на класи ризику: I клас – малий ризик; II клас – середній; III клас – великий ризик. Серед цих клієнтів 50% - першого класу ризику; 30% – другого і 20% – третього. Ймовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для I класу ризику дорівнює 0,01, II – 0,03; III – 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахований одержить грошову винагороду за період страхування; б) застрахований, що отримав винагороду належить до групи малого ризику.

3.25. Перша фабрика виробляє 3000 приладів, друга – 10000, третя – 1000. Перша фабрика виробляє в середньому 1 % браку, друга – 0,5 %, третя – 1,5 %. Взятий навмання прилад виявився бракованим. Яка ймовірність того, що прилад виготовлений другою фабрикою?

3.26. У рибака є три улюблених місця риболовлі, які він відвідує з однаковою ймовірністю. Ймовірність клювання на першому місці дорівнює 1/3, на другому – 1/2, на третьому – 1/4. Рибалка закинув вудку у навмання обраному місці, і рибка клюнула. Знайти ймовірність того, що він вудив рибу на першому місці.

3.27. По каналі зв’язку передається одна з послідовностей букв: АААА, ВВВВ, СССС, причому, ймовірності кожної з послідовностей дорівнюють відповідно 0,3; 0,4; 0,3. Кожна буква приймається правильно з ймовірністю 0,6 і з ймовірністю 0,2 приймається за інші букви. Передбачається, що букви спотворюються незалежно друг від друга. Знайти ймовірність того, що буде прийнята послідовність, АААА, якщо прийняли послідовність АВСА.

3.28. Число вантажних машин, що проїжджають по шосе, на якому є бензоколонка, відноситься до числа легкових машин як 3:2. Ймовірність того, що буде заправляться в даний час вантажна машина дорівнює 0,1; легкова машина – 0,2. До бензоколонки під’їхала машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

3.29. У першому цеху заводу виробляється в середньому 90 % стандартних деталей, у другому – 95 %, у третьому – 85 %. У складальний цех цього ж заводу надходить 50 % деталей з першого цеху, 30 % - з другого і 20 %-з третього. Знайти ймовірність того, що деталь, навмання узята збирачем, виявиться стандартною.

3.30. (Задача-жарт.) Один владика, якому наскучив звіздар зі своїми помилковими показаннями, вирішив стратити його. Однак він надав можливість звіздареві залишитися живим. Йому було велено розподілити по двом урнам 2 білі і 2 чорні кулі. Кат вибере навмання урну і з неї дістане кулю. Якщо куля буде чорною, звіздаря стратять, білою – помилують. Яким чином звіздар повинний був розподілити кулі в урнах, щоб забезпечити собі найбільшу ймовірність залишитися живим?

Поиск по сайту: