Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными (эквивалентными). Обозначение – знак " = ".

Пример: Докажем, что A&B = (A v B).

Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические
выражения равносильны: A&B = (A v B).

Импликация и эквиваленция. В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ», используются и некоторые другие: «ЕСЛИ..., ТО...», «ТОГДА... И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА...» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ и им соответствуют определенные логические функции.

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ..., ТО...». Логическая операция импликации «ЕСЛИ А, ТО В», обозначается А ® B. Таблица истинности логической функции импликация приведена ниже.

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

Например:

1) высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод);

2) высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию.

Докажем с помощью сравнения таблиц истинности, что операция импликации А ® B равносильна логическому выражению
A v B. Таблица истинности логических выражений A v B и А ® B приведена ниже.

Из вышеприведенной таблицы видно, что A v B = А ® B, что и требовалось доказать.

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи
«... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...». Логическая операция эквивалентности «А ЭКВИВАЛЕНТНО В» обозначается А ~ В
и выражается с помощью логической функции, которая задается соответствующей таблицей истинности.

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны.

1) «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

2) «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое – ложно.

1) «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

2) «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

Поиск по сайту: