АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Позиционные системы счисления. Основные определения

Читайте также:
  1. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  2. I. Открытые способы определения поставщика.
  3. I. Формирование системы военной психологии в России.
  4. I.3. Основные этапы исторического развития римского права
  5. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  6. II. Основные задачи и функции
  7. II. Основные показатели деятельности лечебно-профилактических учреждений
  8. II. Основные проблемы, вызовы и риски. SWOT-анализ Республики Карелия
  9. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  10. II. Экономические институты и системы
  11. IV. Механизмы и основные меры реализации государственной политики в области развития инновационной системы
  12. VI.3. Наследственное право: основные институты

 

Определение 1. Система счисления или нумерация – это способ записи (обозначения) чисел.

Определение 2. Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

Определение 3. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

В десятичной системе значение числа образуется следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются.

Например, 4945 = 4 × 1000 + 9 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1. Такой способ образования значения числа называется аддитивно-мультипликативным.

Определение 4. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Основное достоинство любой позиционной системы счисления – возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов.

Определение 5. Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.

Так, базисы десятичной, двоичной и восьмеричной систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8 соответственно. В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так: … p-2, p-1, p0, p1, p2, …pn .

Определение 6. Знаменатель p геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы. Традиционные системы счисленияс основанием p иначе называют p-ичными. В p-ичных системах счисления размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Так, алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием p служат числа 0, 1, …, p-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального символа, младшей цифрой всегда является 0.

В класс позиционных систем счисления также входят системы, в которых либо базис не является геометрической прогрессией, а цифры есть целые неотрицательные числа, либо базис является геометрической прогрессией, но цифры не являются целыми неотрицательными числами.



К первым можно отнести факториальную и фибоначчиеву системы счисления, ко вторым – уравновешенные системы счисления. Такие системы называются нетрадиционными. Алфавитом фибоначчиевой системы являются цифры 0 и 1, а ее базисом последовательность чисел Фибоначчи 1, 2, 3, 8, 13, 21, 34, 55, … .

Базисом факториальной системы счисления является последовательность 1!, 2!, 3!, …, n!, … . В отношении алфавита этой системы можно сделать замечание: количество цифр, используемых в разряде, увеличивается с ростом разряда.

В общем случае, если система счисления устроена таким образом, что основание как таковое в ней отсутствует, а базис представляет собой последовательность чисел … p0, p1, … pn, …, то количество Nk цифр, используемых в k-м разряде, определяется так:

если pk-1 mod pk; в противном случае .

Операция «mod» здесь означает целочисленное деление.

Ниже приведена сводная таблица, характеризующая некоторые позиционные системы.

 

Система счисления Основание Размерность алфавита Цифры
Двоичная 0, 1
Троичная 0, 1, 2
Восьмеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Факториальная Нет Увеличивается с ростом номера разряда 1 разр.: 0, 1 2 разр.: 0, 1, 2 3 разр.: 0, 1, 2, 3…
Фибоначчиева Нет 0, 1

 

Основанием p-ичной системы счисления может быть любое натуральное число, большее единицы. Системой счисления с минимальным основанием является двоичная система, все числа
в которой записываются с помощью цифр 0 и 1.

Примеры записи некоторых десятичных чисел в различных нетрадиционных позиционных системах счисления приведены
в следующей таблице.

 

Десятичная Факториальная Фибоначчиева

 

‡агрузка...

1.5.1. Некоторые понятия, вопросы и ответы

 

1) Какое множество понятий однозначно определяет позиционную систему счисления?

· базис, алфавит, основание

· базис, алфавит

· базис.

Ответ: базис.

Если в качестве цифр в системе счисления используются числа, отличные от целых неотрицательных, то для определения системы счисления необходимо описать еще и алфавит.

2) Какая последовательность может быть использована в качестве базиса позиционной системы счисления?

Ответ: Последовательность чисел может являться базисом позиционной системы счисления только тогда, когда в соответствующей этому базису системе может быть представлено любое число (если система предназначена только для нумерации целых чисел, то любое целое число).

3) Какие символы могут использоваться в качестве цифр системы счисления?

Ответ: Любые символы.

Если основание системы счисления p меньше 10, то для символьного представления в ней, как правило, используются первые p десятичных цифр (от 0 до p-1). Например, в пятеричной системе счисления будут использоваться пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

Для 10 < p < 37 в качестве первых десяти цифр также используют их десятичное представление, а для остальных цифр буквы латинского алфавита.

Для систем счисления с основаниями, большими 36, единых правил для формы записи цифр не существует.

Если при описании произвольной p-ичной системы счисления не будет указан вид ее цифр, то принято считать, что первые десять цифр совпадают с десятичными, а следующие 26 – с латинскими буквами. Остальные цифры записываются в виде их десятичных представлений, заключенных в квадратные скобки. Так [50] в системах счисления с основаниями, большими 50, будет обозначать
51-ю по счету от 0 цифру. Максимальную цифру в произвольной
p-ичной системе счисления обозначают [p-1].

Любое натуральное число можно записать единственным образом, в какой угодно p-ичной системе счисления.

Пример: Десятичное число 14 можно записать:

· в двоичной системе 1112 (14 = 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21);

· в троичной системе 1123 (14 = 1 × 32 +1 × 31 + 2 × 30);

· в четверичной системе 324 (14 = 3 × 41 + 2 × 40);

· в 14-ричной системе 1014 (14 = 1 × 41 + 0 × 40).

В системах счисления с основанием, большим 14, данное число будет представлено одной цифрой (это будет буква латинского алфавита Е или некий другой символ).

Любую правильную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной суммы отрицательных степеней любого натурального числа p > 1.

Например:

0,123 = 1 × 10-1 + 2 × 10-2 + 3 × 10-3 = 0,1 + 0,02 + 0,003.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)