Поняття лотереї. Основна теорема корисності

Для демонстрації сутності корисності вводить деяка формалізована структура, що характеризує ймовірність вибору, за назвою лотерея.

Припустимо, що пропонується купити лотерейний квиток. При цьому шанси вигати суму 10 гривень і нічого не виграти й не програти ймовірно однакові і дорівнюють 0,5. Це означає, що математичне сподівання очікуваного виграшу дорівнює 5 гривень(10*0,5+0*0,5=5).

Поставимо питання за яку суму ви б купили цей квиток?

Якщо за 5 гривень, то ви –об’єктивіст(сума рівна маточікуванню). Якщо за суму меншу 5 гривень то ви песиміст(не любите ризикувати). Якщо за суму вище 5 гривень, то ви оптиміст(любите ризикувати).

Тепер припустимо, що вам пропонують продати цей лотерейний квиток. За яку суму ви б продали його?

Якщо за 5 гривень то ви об’єктивіст. Якщо за меншу суму то ви песиміст і не любите ризикувати, намагаєтесь уникнути ризику. Якщо ви згодні продати за ціну вищу за суму 5 гривень то ви оптиміст і ваше ставлення до ризику позитивне.

Тепер зафіксуємо суму в 10 гривень. Будемо змінювати ймовірність виграшу, яку вище ми поклали 0,5. Тепер проаналізуємо, як змінюється купівельна спроможність і продажна ціна лотерейного квитка, ілюструючи це графіком, рис.1.

А М

Ціна

(10 грн.)

С Ймовірність

Рис 5.3. Ставлення до ризику.

Розглянемо своєрідні трикутники утворені віссю абсцис, відрізком СМ і лініями об’єктивіста, оптиміста і песиміста. Позначимо через f частку, яку займають трикутники в прямокутнику ОАМС Число f є показником ставлення ОПР до ризику.

Зіставляючи площі трикутників із площею фігури ОАМС, маємо:

- для об’єктивіста f=0,5;

- для песиміста 0< f <0,5;

- для оптиміста 0,5< f <1.

Простою лотереєю називається розподіл ймовірностей на множині результатів: L=(). Із простих лотерей можна конструювати більш складні-першого, другого і т.д. порядків. Це робиться так.

Візьмемо k простих лотерей . Припишемо кожній і-й лотереї ймовірність і складемо лотерею (). Ця лотерея проводиться таким чином: спочатку розігрується розподіл ймовірностей() за допомогою підходящого вибору випадкових чисел і отримується якийсь номер і. Потім розігрується проста лотерея . Сконструювала таким чином лотерея називається складеною лотереєю 1-го порядку. З таких лотерей можна сконструювати складену лотерею 2-го і т.д. порядків.

Дослідження даного кола питань допомогли сформулювати важливу в теорії корисності аксіому.

Аксіома звітності. Складена лотерея першого порядку() еквівалентна в системі переваг ОПР лотереї, у якій ймовірність j-го результату є , де - ймовірність j-го результату в i-й простій лотереї.

Теорема.

Кожному і- тому результату лотереї можна приписати деяке число u_i , таке що для будь-яких двох лотерей L=(p₁ , р₂, …р_n) і L =(р, …) буде вірно L L тоді і тільки тоді, коли

Число приписуване і-тому результату, називається його корисністю. Число

,

яке приписується лотереї L, називається середньою очікуваною корисністю цієї лотереї.

0,26; 0,74), то її середня очікувана корисність дорівнює 0,26*0+0,74*10=7,4

Поиск по сайту: