Классификация кривых второго порядка (КВП)

Уравнение вида

a x²+ b ху+ с у²+ d x+ е у+ f =0, (1)

где a²+ b²+ c² ≠ 0, называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид.

1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’.

Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид

-2 a cosα sinα + b ²cos²α - b ²sin²α + 2 c sinα cosα.

Упрощая, получаем

- a sin2α + b cos2α + c sin2α = 0,

(a - c)sin2α = b cos2α, т.е.

,

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид

a x²+ b ху+ с у²+ d x+ е у+ f =0. (2)

2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственено у.

Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).

Поиск по сайту: