АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Прямая на плоскости

Читайте также:
  1. A) Прямая зависимость между ценой и объемом предложения.
  2. Взаимное положение прямой линии и плоскости
  3. Взаимное расположение прямой и плоскости
  4. Вирионы бывают 3-х типов симметрии: 1)Кубический(форма икосаэдра-20ти гранник:23 плоскости,12 вершин,30 ребер; предст-аденовир)
  5. Главные плоскости и главные сечения судна.
  6. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  7. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полосе, полуполосе, полуплоскости и четверти плоскости. Метод Фурье.
  8. Координаты на плоскости.
  9. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Координатные линии и поверхности. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
  10. Куртка прямая с застежкой на пуговицы,2 нижних накладных кармана,меховой воротник,утепленный капюшон,СОП 5 см по груди и спине
  11. Любая геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.
  12. Направления и плоскости тела животного

 

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов

 

 

 

(7)

 

Тогда в новой системе координат O’X’Y’

Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую,

умноженную на у0. Тогда

Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3.

Рассмотрим теперь преобразование поворота

 

 

Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим:

=

(8)

 

Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).

 

Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22).

Введем также угол β, считая

, ,

если С 0. Если же С=0, т.е. а1323=0, то β=0.

Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде:

a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α);

a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (5)

a'23= Ссоз(φ+β); а'3333.

Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.

 

Инварианты кривой второго порядка

Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция

 

f(а11, а12, a22, a13, а23, а33),

 

которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).

 

Теорема 1.2. Величины

(6)

являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка

относительно преобразований декартовой системы координат.

 

Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота.

Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что

 

 

 

следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a, Р(а,0)

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а, b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х, у) на прямой l. Тогда =(х - а, у - b) - направляющий вектор прямой l.

 

Следовательно,

 

 

Отсюда

yb = k (x - а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)