АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Примеры. 1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Читайте также:
  1. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
  2. Примеры.
  3. Примеры.
  4. Примеры.
  5. Примеры.
  6. Примеры.
  7. Примеры.
  8. Примеры.
  9. Примеры.
  10. Примеры.
  11. Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство | xn - 1| < ε. Действительно, т.к.

,

то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N= 6, для всех n >6 будем иметь .

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .

Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

.

Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство | xn - c | = | c - c | = 0 < ε.

Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

 

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b. Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a. Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству | x - a | < δ, имеет место неравенство | f(x) - b | < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a. Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства | x - a | < δ должно следовать неравенство | f(x) - b | < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный. Примеры. 1. Найти предел функции y =2 x +1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M (x, y) графика стремятся к точке M (1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2 x+ 1) – 3 |< ε или |2 x –2| < ε, откуда | x – 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x – 1 |< δ, будет выполняться неравенство | y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y =2 x +1 при x → 1. 2. Найти предел функции y =ex+1 при x → 0. Используя график заданной функции, несложно заметить, .



1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)