НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y - y _ас = f(x) - (kx+b).

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

1. .

1. Вертикальные:

x = 0 – вертикальная асимптота.

2. Наклонные:

.

При x → - ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

2. y = e ^{– x} sin x + x.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет.

2.

а) .

Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у = х.

б) , т. к.

, поэтому при x → - ∞ наклонных асимптот нет.

3. y = x – 2arctg x.

1. Вертикальных асимптот нет.

2.

а) .

. Наклонная асимптота y = x – π при .

б) при .

Схема исследования функции.

1.

a. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

b. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.

3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.

5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. .

1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: x = 0, у= 0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂ = –1.

3.

4. а) Вертикальных асимптот нет

б) . Асимптота – y = 0.

2. .

1. D(y)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox: .

2.

3. .

4. а) Вертикальных асимптот нет

б) .

Наклонных асимптот нет.

3. .

1. D(y)= (0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью :

2.

3.

4. а) .

Вертикальная асимптота x = 0.

б) .

Наклонная асимптота y = 0.

4. .

1. D(y)= (–∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

Функция имеет две точки разрыва x = 0 и x = 1.

Точек пересечения с осями координат нет.

2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

3.

4.

а)

Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

б)

Наклонная асимптота y = x + 1.

Поиск по сайту: