АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Примеры. 1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x

Читайте также:
  1. Матрицы и их классификация. Действия с матрицами. Экономические примеры.
  2. Примеры.
  3. Примеры.
  4. Примеры.
  5. Примеры.
  6. Примеры.
  7. Примеры.
  8. Примеры.
  9. Примеры.
  10. Примеры.
  11. Примеры.

1. Найти производную четвертого порядка функции y = ln x.

.

2. .

3. Найти производную n -го порядка функции y = ek x .

y '= k ·ekx, y ''= k 2·ekx, y ''' = k 3·ekx, …, y (n) = k n·ekx.

4. Найти производную n -го порядка функции y = sin x.

Имеем

Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s =s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость v этого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени tt. Ему соответствует значение скорости v 1 = v (tt). Следовательно, приращению времени Δ t соответствует приращение скорости Δ v = v 1v = v (t + Δ t) – v (t). Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δ t.

Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δ t →0:

.

Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s '. Учитывая это, имеем:

a = v '(t) = (s ')' = s ''(t),

т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

a = S''(t).


ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy = f '(x) dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f '(x), а dx = Δ x от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2 y: d (dy)= d 2 y.

Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому

d 2 y = d (dy) = d [ f '(x) dx)] = [ f '(x) dx ]' dx = f ''(x) dx·dx = f ''(x)(dx)2.

Принято записывать (dx)2 = dx 2. Итак, d 2 у = f ''(x)d x 2.

Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала:

d 3 y = d (d 2 y)=[ f ''(x) dx 2]' dx = f '''(x) dx 3.

Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: d n(y)= d (d n-1 y)

d n y = f (n)(x) dx n

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)