Применение дифференциала для приближенных вычислений значений функции

Пример 1. Дана функция z = x ² + y ² – 2· x + 2· y и две точки А(1, 2) и В(1,08; 1,94). Найти:

1. значение функции в точке В;
2. приближённое значение z ₁ функции в точке В, заменяя приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; оценить в процентах относительную погрешность вычисления при замене приращения функции дифференциалом.

Решение. Вычислим значение функции в точке В:

z (B) = 1,08² + 1,94² – 2·1,08 + 2·1,94 = 6,65.

Приближенное значение z ₁ в точке В найдём по формуле линеаризации:

z ₁(B) = z ₀ + dz, где z ₀ = z (1, 2) = 1² + 2² – 2·1 + 2·2 = 7.

Найдём приращения аргументов

Δ x = x – x ₀ = 1,08 – 1 = 0,08; Δ y = y – y ₀ = 1,94 - 2 = - 0,06.

Найдём значения частных производных функции в точке А

.

Найдём значение дифференциала

Приближённое значение функции в точке В равно z = 7 − 0,36 = 6,64.
Относительная погрешность вычисления равна

Пример 2. Гипотенуза с и катет а определяются с максимальными абсолютными погрешностями | Δ с | =0,2; |Δ а | = 0,4 и соответственно равны с = 75, а = 32. Определить угол А по формуле и максимальную абсолютную погрешность |Δ А| измерения этого угла.
Решение. Из условия примера имеем . Вычислим частные производные

.

Заменяя приращение величины её дифференциалом, получим

.

Таким образом,

.

Поиск по сайту: