Туннельный эффект

Рассмотрим случай одномерного движения частицы вдоль оси х, когда потенциальная энергия U меняетсяскачком в одной точ­ке 0. При х < 0 U= 0, а при x > 0 она равна постоянному значению U₀, как это показано на рис. 1.3. Эта ситуация соответствует силь­но урезанному одномерному потенциальному ящику, одна стен­ка которого в процессе урезания утратилась совсем, а вторая име­ет маленькое конкретное значение и не равна бесконечности. Гра­фик зависимости потенциальной энергии от координаты х (по­тенциальная кривая) имеет вид ступеньки высотой U₀и называ­ется потенциальной стенкой.Вдоль осей у и zпотенциальная энер­гия не меняется.

Неквантовая картина движения в этом поле такова: если полная энергия частицы ε < U₀, то частица, движущаяся слева направо, достигнет потенциальной стенки (в точке А) и отразится от нее. Проникнугь в область х > 0 частица не смогла бы никогда и ни при каких обстоятельствах, так как при этом ее полная энергия Е, равная соотношению (которая в силу закона сохранения энер­гии остается неизменной), оказалась бы меньше потенциальной, так что при этом импульс стал бы чисто мнимым. Потенциальная стенка подобна абсолютно твердой стенке.

В квантовой механике нахождение частицы внутри области ε < U не приводит к бессмысленному выводу об отрицательной ки­нетической энергии. Кинетические и потенциальные энергии со­гласно соотношению неопределенностей не имеют одновремен­но точных значений, так как кинетическая энергия зависит от импульса, а потенциальная энергия - от координаты. Поэтому равенство Е = р²/2т + Uимеет в квантовой механике лишь тот смысл, что в любом состоянии средняя полная энергия равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий.

Согласно квантовой механике волновая функция частицы, дви­жущейся к стенке с импульсом , представляет собой в этой области плоскую волну де Бройля. При x полная энергия та же, что и при х < 0, но теперь в выражении для плоской волны вместо , должна стоять следующая величина:

. (1.28)

Эту величину уже нельзя истолковать как импульс частицы. За­висимость волновой функции от времени при х < 0 и х> 0 одна и та же, но зависимость от координат при х> 0 становится аперио­дической:

(1.29)

Волновая функция при х > О экспоненциально убывает с рос­том х, как это показано на рис. 1.3. В пространстве перед потенци­альной стенкой наряду с падающей волной существует и отра­женная волна. При этом волновые функции перед стенкой (х < 0) и внутри нее (х > 0) связаны друг с другом, поскольку волновая функция не может прерываться. В точке х = О значения волновых функций и значения их производных по координате должны со­впадать вследствие непрерывности волновой функции и ее пер­вой производной.

Согласно зависимости (1.29) имеется конечная вероятность обнаружения частицы в классически запрещенной области х > 0. Эта вероятность экспоненциально убывает с увеличением коор­динаты х. Убывание происходит тем быстрее, чем значительнее потенциальная энергия U₀превышает полную энергию частицы ε. Вероятность обнаружения частицы на расстояниях, намного боль­ших длины волны де Бройля, мала. Возможность проникновения частицы в классически запрещен­ную область дает ключ к пониманию многих процессов, суще­ствование которых с точки зрения классической механики необъяс­нимо. Рассмотрим простую задачу. Допустим, имеется узкая об­ласть шириной а, внутри которой потенциальная энергия равна U₀. Вне этой области потенциальная энергия равна нулю. Потенциальная кривая имеет вид барьера прямоугольной формы (рис. 1.4), называемого потенциальным барьером. Частица с энергией ε < U₀, движущаяся слева направо, согласно классической механи­ке не может преодолеть этот барьер и отражается от него.

Волновая функция при x> а также представляет собой волну де Бройля той же частоты (так как энергия частицы остается пре­жней), но с гораздо меньшей амплитудой, чем перед барьером, как это показано на рис. 1.4. Возникает физическое явление ­проникновение частиц сквозь потенциальный барьер, получив­шее название туннельный эффект.

Вероятность обнаружения частицы в точке х пропорциональна квадрату модуля волновой функции . Поэтому отношение двух таких величин, как вероятность найти частицу за барьером в точ­ке х = а и вероятность обнаружения частицы перед барьером в точке х = 0, согласно выражению (1.29) имеет вид

. (1.30)

Это отношение определяет вероятность «просачивания» части­цы сквозь барьер и называется коэффициентом прохождения ча­стицы через потенциальный барьер.Главная особенность формулы (1.30) заключается в том, что очень малая по сравнению с ос­тальными ингредиентами величина - постоянная Планка - стоит в знаменателе экспоненты. Вследствие этого коэффициент про­хождения через барьер для классической частицы, обладающей большой массой, чрезвычайно мал. Но чем меньше масса части­цы, тем больше и вероятность туннельного эффекта.

Например, при высоте барьера 2 эВ и ширине 10^-8 см вероят­ность прохождения сквозь барьер для электрона с энергией 1 эВ равна 0,78, а для протона с той же энергией - только 3,6·10^-19 (очень маленькой величине). Если же взять макроскопическое тело - ша­рик массой 1 г, движущийся по горизонтальной поверхности с очень маленькой скоростью (кинетическая энергия близка к нулю), то вероятность преодоления им препятствия - лезвия бритвы тол­щинoй 0,1 мм, выступающего над горизонтальной поверхностью на 0,1 мм, равна 10^-26, но не равна нулю.

Прохождением частиц сквозь потенциальный барьер объясня­ется ионизация атомов в сильном электрическом поле, вырыва­ние электронов из металла под действием электрического поля (автоэлектронная эмиссия) и многие другие удивительные явле­ния. На использовании туннельного эффекта основано действие такого мощного аналитического прибора, как сканирующий тун­нельный микроскоп (позволяющий проводить эксперименталь­ные исследования на атомарном уровне) и многих других прибо­ров, разработанных в последнее время с помощью нанотехноло­гии для целей нанотехнологии и относящихся к области нано­электроники и оптоэлектроники.

Поиск по сайту: