Квантование энергии. Частица в потенциальном ящике

Из уравнения Шредингера можно вывести одно из фундамен­тальных положений квантовой механики - положение о кванто­вании энергии. Рассмотрим одномерное движение частицы; огра­ничим это движение пределами ящика: 0 . Пусть потенци­альная энергия бесконечна при х < 0 и х> L и равна нулю при 0 (рис. 1.1). Уравнением Шредингера для области 0 является по-прежнему уравнение (1.17), а решением его - полу­ченная ранее экспоненциальная функция. Однако теперь Ψ-функ­ция должна быть равна нулю при х = 0 и при всех отрицательных значениях х, поскольку частица не может перескочить через стен­ки ящика.

Указанная функция должна также равняться нулю и при всех значениях х, превышающих х = L. Искомая функция представляет собой некоторую комбинацию синусов и косинусов:

U=

U=

Поскольку в точке х = О косинус не равен нулю, тогда как синус обраща­ется в нуль, Ψ-функция должна быть синусоидальной функцией. Решение не­обходимо ограничить также рассмотре­нием лишь таких синусоидальных функ­ций, которые обращаются в нуль при х> L.

Аналитически требование, налагае­мое на функцию в точке х = L, выра­жается следующим образом:

(1.23)

Согласно уравнению (1.23) k может принимать не все значе­ния; разрешенными значениями являются лишь те, для которых выполняется условие

(1.24)

Если волновой вектор k может пробегать лишь последователь­ность дискретных значений, то энергия частицы также дискрет­на, т. е. она квантуется:

Смысл выражения (1.25) заключается в том, что частица, движущаяся в потенциальном ящике, может обладать не про­извольным значением энергии, а лишь одним значением из набора дискретных значений. Энергия, таким образом, облада­ет дискретным спектром, который показан на рис. 1.3. Причину того, что энергия совершенно свободной частицы не квантова­на, можно легко понять, проанализировав выражение (1.25). Если длина потенциального ящика бесконечно увеличивается, то расстояние между энергетическими уровнями становится бесконечно малым. В общем случае, согласно квантовой меха­нике, несвязанные частицы, которые можно считать практи­чески свободными, имеют непрерывный энергетический спектр, тогда как частицы, которые удерживаются какими-либо сила­ми в конечной области пространства, обладают дискретным энергетическим спектром.

Один из аспектов проведенного обсужде­ния дозволенных решений может вызвать со­мнения. Предполагается, что волновая функ­ция обращается в нуль при х = О и х = L, так как вне этих пределов она должна равняться нулю. Волновые функции, следовательно, непрерывны на стенках ящика, но их первые производные терпят разрыв. Тогда возникает вопрос: почему функция не может сама быть разрывной на стен­ках ящика? Причина, по которой функции такого вида не могут быть выбраны, не очевидна, пока не проделаны дальнейшие рас­четы последствий такого выбора. Такие вычисления показывают, что если Ψ-функция терпит в некоторой точке разрыв, то ско­рость частицы в этой точке оказывается бесконечно большой, а следовательно, бесконечна и кинетическая энергия. Поскольку предполагается, что полная энергия частицы не может быть бес­конечно большой, такое решение физически неприемлемо. Таким образом, энергия квантуется по той причине, что только опреде­ленные Ψ-функции имеют физический смысл, т. е. энергия не могла бы сохраняться во время движения в потенциальном ящике час­тицы с некорректно заданной энергией.

Нарушение непрерывности производной от волновой функ­ции на границах потенциального ящика возможно потому, что такое поведение Ψ-функции соответствует действию на частицу бесконечно большой силы. Поскольку стенка потенциального ящика непроницаема для частиц, мгновенная сила, действующая со стороны ящика на частицу в момент ее удара о стенку, являет­ся бесконечно большой, но в то же время чрезвычайно кратков­ременной.

Квантование энергии является следствием необходимости фи­зически оправданного выбора решений уравнения Шредингера. Поскольку уравнение Шредингера обусловлено принципом не­определенности, покажем, что минимум энергии спектра (см. рис. 1.2) действительно предсказывается принципом неопределен­ности. Если частица заключена в потенциальный ящик, наиболь­шее возможное значение неопределенности в изменении положе­ния частицы равно ширине этого ящика. Следовательно, ∆x = L. Пусть частица обладает импульсом р. Поскольку частица должна отскакивать после соударения от стенки к стенке, неопределен­ность в определении величины импульса частицы, заключенной в ящике, должна равняться 2р, так как при ударах о стенки им­пульс меняется от значения +р до значения -р и обратно. Следова­тельно, соотношение неопределенностей для максимально нело­кализованной частицы (обладающей минимальной энергией) имеет вид

(∆x)(∆p)=(L)(2p)=h. (1.26)

С учетом соотношения для энергии получаем выра­жение

, (1.27)

которое совпадает с формулой (1.25) при п = 1.

Поиск по сайту: