АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Квантование энергии. Частица в потенциальном ящике

Читайте также:
  1. Aufgabe 4. Везде ли нужна частица “zu”?
  2. БОЛЕЗНЕТВОРНОЕ ДЕЙСТВИЕ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ. ПЕРЕГРЕВАНИЕ. ТЕПЛОВОЙ УДАР
  3. Взаимосвязь массы и энергии.
  4. Волновой пакет. Возможные скорости(4 штуки). Скорость переноса энергии. Связь групповой скорости с фазовой. Дисперсия упругих волн.
  5. Вопрос 15 Распределение молекул в потенциальном поле сил
  6. Дискретизация 2 Квантование 3 Кодирование
  7. Закон взаимосвязи массы и энергии. Закон сохранения 4-х мерного вектора энергии - импульса
  8. Закон Ома для полной цепи с одним Э.Д.С. Последовательное и параллельное соединение потребителей и источников электрической энергии.
  9. Закон сохранения энергии.
  10. Измерение рассеивания энергии. Энтропия.
  11. Импульс тела. Закон сохранения механической энергии.
  12. Индуктивность. Индуктивность соленоида. Энергия магнитного поля, плотность энергии.

 

Из уравнения Шредингера можно вывести одно из фундамен­тальных положений квантовой механики - положение о кванто­вании энергии. Рассмотрим одномерное движение частицы; огра­ничим это движение пределами ящика: 0 . Пусть потенци­альная энергия бесконечна при х < 0 и х> L и равна нулю при 0 (рис. 1.1). Уравнением Шредингера для области 0 является по-прежнему уравнение (1.17), а решением его - полу­ченная ранее экспоненциальная функция. Однако теперь Ψ-функ­ция должна быть равна нулю при х = 0 и при всех отрицательных значениях х, поскольку частица не может перескочить через стен­ки ящика.

Указанная функция должна также равняться нулю и при всех значениях х, превышающих х = L. Искомая функция представляет собой некоторую комбинацию синусов и косинусов:

L
x
U=
U=
U=0
Рис. 1.1. Потенциальная энергия частицы в одномерном потенциальном ящике
(1.22)

Поскольку в точке х = О косинус не равен нулю, тогда как синус обраща­ется в нуль, Ψ-функция должна быть синусоидальной функцией. Решение не­обходимо ограничить также рассмотре­нием лишь таких синусоидальных функ­ций, которые обращаются в нуль при х> L.

Аналитически требование, налагае­мое на функцию в точке х = L, выра­жается следующим образом:

(1.23)

Согласно уравнению (1.23) k может принимать не все значе­ния; разрешенными значениями являются лишь те, для которых выполняется условие

(1.24)

 

Если волновой вектор k может пробегать лишь последователь­ность дискретных значений, то энергия частицы также дискрет­на, т. е. она квантуется:

 

E1
n=1
E
n=2
n=3
4E1
9E1
Рис. 1.2. Энергетический спектр частицы
(1.25)

Смысл выражения (1.25) заключается в том, что частица, движущаяся в потенциальном ящике, может обладать не про­извольным значением энергии, а лишь одним значением из набора дискретных значений. Энергия, таким образом, облада­ет дискретным спектром, который показан на рис. 1.3. Причину того, что энергия совершенно свободной частицы не квантова­на, можно легко понять, проанализировав выражение (1.25). Если длина потенциального ящика бесконечно увеличивается, то расстояние между энергетическими уровнями становится бесконечно малым. В общем случае, согласно квантовой меха­нике, несвязанные частицы, которые можно считать практи­чески свободными, имеют непрерывный энергетический спектр, тогда как частицы, которые удерживаются какими-либо сила­ми в конечной области пространства, обладают дискретным энергетическим спектром.



Один из аспектов проведенного обсужде­ния дозволенных решений может вызвать со­мнения. Предполагается, что волновая функ­ция обращается в нуль при х = О и х = L, так как вне этих пределов она должна равняться нулю. Волновые функции, следовательно, непрерывны на стенках ящика, но их первые производные терпят разрыв. Тогда возникает вопрос: почему функция не может сама быть разрывной на стен­ках ящика? Причина, по которой функции такого вида не могут быть выбраны, не очевидна, пока не проделаны дальнейшие рас­четы последствий такого выбора. Такие вычисления показывают, что если Ψ-функция терпит в некоторой точке разрыв, то ско­рость частицы в этой точке оказывается бесконечно большой, а следовательно, бесконечна и кинетическая энергия. Поскольку предполагается, что полная энергия частицы не может быть бес­конечно большой, такое решение физически неприемлемо. Таким образом, энергия квантуется по той причине, что только опреде­ленные Ψ-функции имеют физический смысл, т. е. энергия не могла бы сохраняться во время движения в потенциальном ящике час­тицы с некорректно заданной энергией.

Нарушение непрерывности производной от волновой функ­ции на границах потенциального ящика возможно потому, что такое поведение Ψ-функции соответствует действию на частицу бесконечно большой силы. Поскольку стенка потенциального ящика непроницаема для частиц, мгновенная сила, действующая со стороны ящика на частицу в момент ее удара о стенку, являет­ся бесконечно большой, но в то же время чрезвычайно кратков­ременной.

Квантование энергии является следствием необходимости фи­зически оправданного выбора решений уравнения Шредингера. Поскольку уравнение Шредингера обусловлено принципом не­определенности, покажем, что минимум энергии спектра (см. рис. 1.2) действительно предсказывается принципом неопределен­ности. Если частица заключена в потенциальный ящик, наиболь­шее возможное значение неопределенности в изменении положе­ния частицы равно ширине этого ящика. Следовательно, ∆x = L. Пусть частица обладает импульсом р. Поскольку частица должна отскакивать после соударения от стенки к стенке, неопределен­ность в определении величины импульса частицы, заключенной в ящике, должна равняться 2р, так как при ударах о стенки им­пульс меняется от значения до значения и обратно. Следова­тельно, соотношение неопределенностей для максимально нело­кализованной частицы (обладающей минимальной энергией) имеет вид

‡агрузка...

(∆x)(∆p)=(L)(2p)=h. (1.26)

С учетом соотношения для энергии получаем выра­жение

, (1.27)

которое совпадает с формулой (1.25) при п = 1.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)