Свойства функций одной переменной. Согласно наиболее простому определению, функция f(x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению х поставить в соответствие единственное

Согласно наиболее простому определению, функция f(x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению х поставить в соответствие единственное значение y=f(x). В этом случае х носит название независимой переменной, а у — зависимой переменной. Рассмотрим множество , где R — множество всех действительных чисел. Мы можем определить соответствие (или преобразование), с помощью которого каждой точке придается единственное числовое значение. Такое соответствие называется скалярной функцией f, определенной на множестве S.

Когда множество S=R, мы имеем дело со всюду определенной функцией одной переменной. Если S есть некоторое подмножество множества R, то функция f определена в ограниченной области.

На пример,

есть всюду определенная функция, тогда как функция

определена в ограниченной области. В теории оптимизации f называется целевой функцией, а S — допустимой областью, множеством точек, удовлетворяющих ограничениям, или областью допустимых значений х.

Ряд физических процессов можно описать (или построить модели этих процессов) с помощью непрерывных функций, т. е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x_i, принадлежащей областям их определения.

Рис. 2.1. Разрывная функция

Однако в инженерных приложениях нередки и такие случаи, когда приходится использо­вать разрывные функции. Например, если мы строим график функции, которая измеряет затраты на сообщение некоторой системе количества тепла, равного 1 БТЕ [1], при различных температурах системы, то в результате получаем кусочно-непрерывную кривую, изображенную на рис. 2.1. Затраты описываются разрывной функцией температуры системы; однако температура системы может принимать все значения в диапазоне от 200 до 3000 градусов по шкале Фаренгейта.

Разумеется, не всегда необходимо, чтобы область допустимых значений независимой переменной х содержала все действительные числа из рассматриваемого интервала. Вполне возможны случаи, когда переменная принимает только дискретные значения. Например, если мы строим график функции, представляющей зависимость стоимости погонного фута трубы от ее диаметра, то естественно ограничиться линии последовательностью точек, изображенных на рис. 2.2, поскольку количество установленных размеров выпускаемых промышленностью труб конечно.

Примечание. Важно иметь в виду, что непрерывные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма или произведение непрерывных функций является непрерывной функцией;

2) отношение двух непрерывных функций является функцией, непрерывной во всех точках, в которых знаменатель отношения не обращается в нуль.

Очевидно, что в зависимости от того, является ли исследуемая функция непрерывной или разрывной, а также в зависимости от структуры допустимой области для реализации процедуры поиска точек оптимума функции следует использовать различные методы. Необходимо отметить, что метод, эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

Рис. 2.2. Дискретная функция

В дополнение к перечисленным выше свойствам можно также классифицировать функции в соответствии с их формой, определяющей топологические свойства функций в рассматриваемом интервале.

Рис. 2.3. Монтонно возрастающая функция.

Рис. 2.4. Монотонно убывающая функция.

Монотонные функции. Функция f(x) является монотонной (как при возрастании, так и при убывании), если для двух произвольных точек и таких, что выполняется одно из следующих неравенств:

На рис. 2.3 представлен график монотонно возрастающей функции, а на рис. 2.4 — график монотонно убывающей функции. Заметим, что монотонная функция не обязательно должна быть непрерывной. На рис. 2.5 изображен график функции, которая монотонно убывает при и монотонно возрастает при . Функция достигает своего минимума в точке х=х* (начале координат) и моно­тонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называют­ся унимодальными.

Рис. 2.5. Унимодальная функция.

Определение

Функция f (х) является унимодальной на отрезке в том и только том случае, если она монотонна по обе стороны от един­ственной на рассматриваемом интервале оптимальной точки х*. Другими словами, если х*— единственная точка минимума f(x) на отрезке , то f(x) оказывается унимодальной на данном интервале тогда и только тогда, когда для точек и

Непрерывная Разрывная Дискретная

Рис. 2.6. Унимодальные функции.

Как показано на рис. 2.6, унимодальная функция не обязательно должна быть непрерывной. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях. Вопросы, связанные с этим свойством функций, рассматриваются в разд. 2.3.

Поиск по сайту: