Доказательство. Рассмотрим случай, когда

Рассмотрим случай, когда . Пусть утверждение теоремы неверно, т. е. . Поскольку х* - точка минимума, то по определению f(x*)£f(x) для всех . Получаем двойное неравенство

Это неравенство не может выполняться, так как унимодальная функция f(x) должна быть монотонной по обе стороны от точки х*. Таким образом, получено противоречие, доказывающее утверждение теоремы. Аналогичные рассуждения справедливы также в случае, когда .

Рис. 2.10. Графические иллюстрации к теореме 2.3.

Примечание.

Если , то можно исключить оба крайних интервала () и (); при этом точка минимума должна располагаться в интервале ( ).

Согласно теореме 2.3, которую иногда называют правилом исключения интервалов, можно реализовать процедуру поиска, позволяющую найти точку оптимума путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров. Заметим, что правило исключения интервалов, устраняет необходимость полного перебора всех допустимых точек. Несомненным достоинством поисковых методов такого рода является то что они основаны лишь на вычислении значений функций. При этом не требуется, чтобы исследуемые функции были дифференцируемы; более того, допустимы случаи, когда функцию нельзя даже записать в аналитическом виде. Единственным требованием является возможность определения значений функции f (х) в заданных точках х с помощью прямых расчетов или имитационных экспериментов. Вообще в процессе применения рассматриваемых методов поиска можно выделить два этапа:

этап установления границ интервала, на котором реализуется процедура поиска границ достаточно широкого интервала, содержащего точку оптимума;

этап уменьшения интервала, на котором реализуется конечная последовательность преобразований исходного интервала с тем, чтобы уменьшить его длину до заранее установленной величины.

Поиск по сайту: