Мкость. Конденсаторы

Э лектрическое поле внутри плоского конденсатора заключено строго внутри него, энергия W этого поля вычисляется по формуле

W = ee ₀ E ² V /2 = CU ²/2 = q ²/2 C. (2.3.29)

Здесь W – энергия электрического поля внутри конденсатора, e – диэлектрическая проницаемость среды, которой заполнен конденсатор, e ₀ – электрическая постоянная, E – напряженность электрического поля конденсатора, V – объем пространства внутри конденсатора, C – емкость конденсатора, U – напряжение между обкладками конденсатора, q – заряд на обкладках конденсатора.

Емкость плоского конденсатора:

C = q/U = ee ₀ S / d, (2.3.30)

где S – площадь обкладок конденсатора, d – расстояние между его обкладками.

Если конденсатор воздушный, то e = 1.

Между напряженностью E электрического поля конденсатора и напряжением U на его обкладках существует связь:

U = E×d, (2.3.31)

Поверхностная плотность заряда s на обкладках плоского конденсатора – это заряд единицы площади, определяемый выражением:

q = s×S, (2.3.32)

S – площадь пластин (обкладок) конденсатора, причем

S = a×b – площадь прямоугольных пластин плоского конденсатора,

S = a ² – площадь квадратных пластин плоского конденсатора,

S = p×r ² – площадь пластин-дисков плоского конденсатора.

Электроемкость батареи, состоящей из параллельно соединенных конденсаторов,

С = S С_i, (2.3.33)

а из последовательно соединенных конденсаторов –

1/ С = S(1/ С_i), (2.3.34)

где С_i – электроемкость отдельного конденсатора.

Пример 10. Найти энергию электрического поля внутри плоского воздушного конденсатора, если известны напряженность поля конденсатора Е = 1000 В/м, площадь пластин S = 10 см², а также расстояние между пластинами d = 1 мм.

Дано: Е = 1000 В/м,

S = 10 см² = 1×10^–3 м²,

d = 1 мм = 0,001 м.

e = 1.

Найти: W.

Решение. Для расчета энергии электрического поля внутри конденсатора запишем формулу (29):

W = ee₀E ² V /2.

Объем поля конденсатора равен объему пространства внутри конденсатора, поэтому

V = S×d (2.3.35)

Подставим (2.3.35) в (2.3.29):

W = ee ₀ E ² V /2 = ee ₀ E ² S×d /2. (2.3.36)

После подстановки в (2.3.36) числовых данных, получим искомую энергию поля внутри конденсатора:

W = ee ₀ E ² S×d /2 = 4,4×10^–12 Дж.

Ответ: 4,4×10^–12 Дж.

Пример 11. Найти энергию электрического поля плоского воздушного конденсатора с зарядом на обкладках, равным 2 нКл (заряд распределен по поверхности обкладок равномерно) и расстоянием между обкладками 1 мм. Обкладки конденсатора имеют форму дисков радиусом 10 см. Найти напряжение между обкладками конденсатора.

Дано: e = 1,

d = 1 мм = 0,001 м,

r = 10 см = 0,1 м,

q = 2 нКл = 2×10^–9 Кл.

Найти: W, U.

Решение. Для расчета энергии электрического поля конденсатора используем исходную формулу (2.3.29):

W = q ²/2 C,

Емкость плоского конденсатора будем рассчитывать по формуле (2.3.30):

C = ee ₀ S / d.

Обкладки конденсатора – диски, поэтому площадь обкладок будет вычисляться по формуле

S = p×r ². (2.3.37)

Подставим (2.3.37) в (2.3.30) и получим формулу для расчета емкости конденсатора:

C = ee ₀ S / d = ee ₀ p×r ²/ d. (2.3.38)

Подставим (2.3.38) в (2.3.29) и рассчитаем энергию поля внутри конденсатора:

W = q ²/2 C = q ²/2(ee ₀ p×r ²/ d) = q ² d /(2 ee ₀ p×r ²) = 7,2×10^–9 Дж.

Напряжение между обкладками конденсатора найдем по формуле (2.3.31):

U = E×d,

а напряженность поля внутри конденсатора – по формуле

E = s / e ₀, (2.3.39)

где s – поверхностная плотность заряда обкладок конденсатора, которую выразим из (2.3.32): s = q / S.

Таким образом,

E = s / e ₀ = q / Se ₀ = q / p×r ² e ₀,

U = E×d = (q× d)/(p×r ² e ₀) = 7,2 В.

Ответ: 7,2×10^–9 Дж; 7,2 В.

Пример 12. Вычислите электроемкость тела человека, считая ее равной электроемкости электропроводящего шара того же объема. Среднюю плотность тела принять равной 1 г/см³, масса человека составляет 60 кг.

Дано: r = 1 г/см³ = 1000 кг/м³,

m = 60 кг,

Найти: С.

Решение. Емкость проводящего шара будем искать по формуле

C = 4 pe ₀ R.

Объем шара: V = (4/3) p R ³, откуда выразим радиус шара:

R = [(3 V)/(4 p)]^1/3.

Объем тела человека можно выразить через массу и плотность следующим образом:

V = m / r, поэтому R = [(3 m)/(4 pr)]^1/3, поскольку по условию задачи объемы проводящего шара и тела человека равны, а емкость тела человека окончательно

C = 4 pe ₀ R = 4 pe ₀[(3 m)/(4 pr)]^1/3 = 9 пФ.

Поиск по сайту: