|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Полная механическая энергия тела. Законы сохранения и изменения энергии
Если частица массы m движется со скоростью v, то ее кинетическая энергия может быть представлена в виде . (1.3.57) Кинетическая энергия системы частиц – величина аддитивная и представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы: , где N – число частиц в системе, mi – масса i -той частицы, vi – скорость i -той частицы. * Сила, работа которой не зависит от формы и длины пути (от траектории точки приложения силы), называется консервативной силой. Математически условие консервативности силы выражается в виде: , что означает: * циркуляция консервативной силы по любому замкнутому контуру равна нулю.
Из определения консервативной силы следует: работу консервативной силы можно представить как убыль некоторой скалярной функции , зависящей только от положения тела (частицы), которая называется потенциальной энергией: Последняя формула является определением потенциальной энергии: * Потенциальная энергия определена с точностью до произвольной постоянной.
Так как определена только разность потенциальной энергии, то к выражению для потенциальной энергии можно добавить или вычесть любую постоянную величину. Поэтому в каждом конкретном случае договариваются о начале отсчета потенциальной энергии (в какой именно точке считают U = 0). Полная механическая энергия частицы – это сумма ее кинетической и потенциальной энергий: Если на частицу действуют только консервативные силы, то с одной стороны dA = – dU, с другой (из второго закона Ньютона): dA = dK Þ – dU = dK, d (K + U) = dE=0 Þ Е = const (1.3.58) Выражение (1.3.58) – это закон сохранения полной механической энергии, который гласит: * механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется. Неконсервативные силы – силы, работа которых зависит от длины и формы пути. То есть, работа неконсервативных сил на замкнутом пути не равна нулю, с ними не связана потенциальная энергия. Примеры: сила трения скольжения, сила вязкого трения. Работа силы трения скольжения зависит не от перемещения тела, а от длины пути: A тр = – mNl,и не равна нулю при возвращении тела в исходную точку. Если на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы, то полная механическая энергия этой частицы сохраняться не будет: dE = d (K + U) = dA неконс. (1.3.59)
Выражение (1.3.59) является математическим выражением закона изменения полной механической энергии: * Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех действующих на нее неконсервативных сил: Потенциальная энергия системы частиц складывается из собственной потенциальной энергии U соб (энергия взаимодействия частиц системы между собой) и внешней потенциальной энергии U внешн: U сист = U соб + U внешн, где . Здесь Uij – потенциальная энергия взаимодействия i -той и j -той частиц системы; коэффициент 1/2 учитывает тот факт, что каждое слагаемое в двойной сумме учитывается дважды. Если на каждую частицу системы действуют, кроме внутренних, также внешние силы, пусть тоже консервативные, то их работа равна убыли внешней энергии dA = – dU внешн, где . Здесь Ui – потенциальная энергия i -той частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной (в отличие от собственной энергии U соб). В таком случае, полная механическая энергия системы частиц запишется так: E = K сист + U соб + U внешн. * Консервативной называется система, полная механическая энергия которой сохраняется: E сист = сonst. В такой системе отсутствуют любые неконсервативные силы (и внешние, и внутренние). Заметим, что консервативность системы и закон сохранения энергии никак не связаны с замкнутостью системы. Закон изменения полной механической энергии системы: * Изменение полной механической энергии системы равно суммарной работе всех неконсервативных сил: dE сист = dA неконс.
Кинетическая энергия вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела: , (1.3.60) где mi – масса i -той частицы, Ri – радиус окружности, по которой вращается i -тая частица, w – угловая скорость вращения тела. Продифференцируем по времени формулу (1.3.60) и получим закон изменения кинетической энергии вращающегося вокруг закрепленной оси твердого тела: . то есть, * скорость изменения кинетической энергии вращательного движения равна мощности результирующего момента сил относительно оси вращения. Отсюда dK вращ = Mzwdt = Mzdj Þ DK º K 2 – K 1 = ò Mzd j, то есть, * изменение кинетической энергии вращательного движения равно работе момента сил. Движение твердого тела, при котором центр масс перемещается в фиксированной плоскости, а ось вращения тела, проходящая через его центр масс, остается перпендикулярной к этой плоскости, называется плоским движением. Типичным примером такого движения является качение симметричного тела. Это движение можно свести к совокупности поступательного движения и вращения вокруг неподвижной (закрепленной) оси. Кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение, запишется в виде . (1.3.61) Здесь VС – скорость движения центра масс тела.
Пример 22. Однородный диск массы 1 кг и радиуса 1 м катится без трения и проскальзывания. Скорость центра масс диска составляет 1 м/с. Найти кинетическую энергию диска. Дано: m = 1 кг; R = 1 м; VC = 1 м/с. Найти: К плоск. Решение. Данное движение диска является плоским, поэтому для кинетической энергии диска запишем формулу (1.3.61): . Найдем момент инерции диска, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр масс из (1.3.52): IC = (1/2) mR 2, а угловую скорость вращения диска из (5.17): v = wR. Имеем: = = = 0,75 (Дж). Ответ: 0,75 Дж.
Пример 23. Небольшая шайба массы 1 кг, имея начальную скорость 10 м/с, останавливается, пройдя путь, равный 5 м. Найти силу трения, действующую на шайбу. Дано: m = 1 кг; V 0 = 1 м/с; S = 5 м. Найти: F тр. Решение. В силу того, что во время движения на шайбу действует сила трения, полная механическая энергия шайбы изменяется, причем из (1.3.59) имеем: dE = d (K + U) = dA неконс или в интегральной форме, расшифровывая работу силы трения, DЕ = A неконс = F тр× S × cosa = – F тр× S, (1.3.62) так как вектор силы трения противонаправлен перемещению шайбы, то есть a = 180°, cos 180° = – 1. Запишем, чему равно изменение полной механической энергии шайбы, используя (1.3.62): , откуда = 10 (Н). Ответ: 10 Н.
Пример 24. Резиновая шайба массы 1 кг, двигаясь со скоростью 1 м/с, соскальзывает с горки высотой 1 м и приобретает скорость V у подножия горки. Во время движения над шайбой была совершена работа сил трения А тр = 1 Дж. Считая, что ускорение свободного падения составляет 10 м/с2, найти скорость шайбы V. Дано: m = 1 кг; V 0 = 1 м/с; А тр = 1 Дж; g = 10 м/с2. Найти: V. Решение. Поскольку во время движения шайбы на нее по условию задачи действует сила трения, полная механическая энергия шайбы изменяется. Запишем закон изменения полной механической энергии в интегральной форме: DE = Е 2 – Е 1 = A тр. Изменение полной механической энергии: , откуда выразим скорость, которую приобретает шайба у подножия горки: = 4,36 (м/с). Ответ: 4,36 м/с.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |