Механические волны. Плоская волна

Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется упругой, или механической, волной.

С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают периодические деформации сжатия и сдвига, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. При распространении механической волны сами частицы среды не перемещаются вместе с ней, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.

Механические волны различаются по тому, как колебания частиц среды ориентированы относительно направления распространения волны. Простейшие типы волн в этом случае следующие.

Продольные волны – такие, в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения колебаний. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения. Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).

Поперечные волны – такие, в которых частицы колеблются перпендикулярно к направлению распространения колебаний. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не возникают. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.

Фронт волны – геометрическое место точек (поверхность), в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. Для всех точек фронта время, за которое до них дошло возмущение, одинаково.

Скоростью волны v называется скорость перемещения ее фронта. Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.

Скорость звуковой волны в воздухе при нормальных условиях составляет около 330 м/с.

Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку – плоские и сферические.

Плоской называется волна, у которой фронтом является плоскость, перпендикулярная направлению распространения. Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.

Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы. Такой, например, является волна, вызываемая в однородной среде точечным источником.

Для волны, созданной гармоническими колебаниями источника, колебания точек среды также являются гармоническими. Такая волна называется гармонической. Колебания каждой точки среды описываются уравнением

х = Acos (wt + j ₀),

где А – амплитуда колебаний данной точки, w – круговая (циклическая) частота колебаний, определяемая частотой внешнего воздействия (w = 2 pn) и потому одинаковая для всех точек, j ₀ – фаза колебаний данной точки в момент времени t = 0 (начальная фаза колебаний).

Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гармоническими колебаниями источника: x _и = Acos (wt). Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны – V, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время t = s / V. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t = s / V). В результате колебания данной точки будут определяться уравнением:

х = Acos [ w (t – s / V)]. (1.3.82)

Уравнение (1.3.82), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны. Аргумент при косинусе – величина j = w (t – s / V) – называется фазой волны.

Обычно вместо круговой частоты колебаний w указывают частоту n или период колебаний точек среды Т. Связь между этими величинами:

w = 2 pn = 2 p / Т. (1.3.83)

Длиной волны l называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время равное периоду колебаний частиц среды:

l = VT,

где V – скорость волны.

При волновом движении происходит перенос энергии Е, которая складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформацией среды при взаимном смещении частиц.

Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.

Поток энергии ( Ф ) – величина, равная средней энергии, проходящей за единицу времени через данную поверхность:

Объемная плотность энергии (w _p) – средняя энергия колебательного движения, приходящаяся на единицу объема среды:

Интенсивность волны (плотность потока энергии волны) (I) – величина, равная потоку энергии волны, проходящей через единичную площадь, перпендикулярную к направлению распространения волны:

I = Ф/ S [Вт/м²]. (1.3.84)

Можно показать, что интенсивность волны определяется соотношением

I = VA ² w ²/2 = р ²/(2 rV),

где р – звуковое давление, V = 330 м/с – скорость звука в воздухе.

Пример 38. Капсула фонендоскопа имеет диаметр 3 см. Площадь барабанной перепонки 70 мм², на нее попадает 90 % звуковой энергии при интенсивности 10^–11 Вт/м². Чему равна интенсивность сердечных тонов у входа в капсулу фонендоскопа?

Дано: d = 3 см = 0,03 м;

S _п = 70 мм² = 7×10^–5 м²;

I _п = 10^–11 Вт/м²;

Ф_п = 0,9Ф_ф.

Найти: I _ф.

Решение. Исходя из (1.3.84), запишем, чему равны потоки звуковой энергии у входа в капсулу фонендоскопа (Ф_ф) и воздействующие на барабанную перепонку (обозначен как Ф_п):

Ф_п = I _п S _п, Ф_ф= I _ф S _ф.

По условию задачи Ф_п = 0,9Ф_ф, поэтому, с учетом S = pd ²/4,

Ф_ф= I _ф S _ф = I _ф(pd ²/4), Ф_п = I _п S _п = 0,9Ф_ф = 0,9 I _ф(pd ²/4),

откуда I _ф = (4 I _п S _п)/(0,9 pd ²) = 1,1×10^–12 (Вт/м²).

Ответ: 1,1×10^–12 Вт/м².

Пример 39. Две точки находятся на расстоянии 6 м и 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения V = 300 м/с.

Дано: s ₁ = 6 м;

s ₂ = 12 м;

T = 0,04 с;

V = 300 м/с.

Найти: Dj.

Решение. Согласно (1.3.82) для точек, находящихся на расстоянии s ₁ и s ₂ от источника колебаний, имеем:

х ₁ = Acos [ w (t – s ₁/ V)], х ₂ = Acos [ w (t – s ₂/ V)],

где фазы колебаний

j ₁ = w (t – s ₁/ V), j ₂ = w (t – s ₂/ V),

а разность фаз колебаний

Dj = j ₁ – j ₂ = w (s ₂ – s ₁)/ V = [2 p (s ₂ – s ₁)]/(ТV),

где использована формула связи между частотой колебаний w и периодом колебаний Т (1.3.83): w = 2 p / Т.

Имеем окончательно:

Dj = p (рад), то есть, точки колеблются в противофазе.

Ответ: p рад.

Поиск по сайту: