|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Динамика вращательного движения твердого тела
Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс , относительно точки (центра) О, называется векторное произведение радиус-вектора и импульса частицы: . (1.3.43)
Направление определяется правилом правого винта. Векторное произведение любых векторов определяется следующим образом: . Закон изменения момента импульса: . (1.3.44) Здесь – момент силы. * Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки. перпендикулярен векторам и , и образует с ними правую тройку векторов. ê ê= rFsina, (1.3.45) l = rsina, где l – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы – плечо силы. Проекция вектора момента силы на некоторую фиксированную (закрепленную) ось, например ось z, называется моментом импульса относительно оси: Lz = Iw, (1.3.46) где I – момент инерции частицы, I = mR 2. (1.3.47) Закон изменения момента импульса относительно оси: , (1.3.48) где Mz – проекция момента силы на ось z. Спроектируем уравнение моментов для системы материальных точек на ось вращения Oz, получим: или . Для абсолютно твердого тела I = const, поэтому , (1.3.49) то есть, * произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту внешних сил относительно закрепленной оси вращения. Уравнение (1.3.49) – основное уравнение вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси. Здесь I играет роль меры инертности (как масса при поступательном движении). Как следует из основного уравнения, * Если моменты всех сил относительно оси уравновешены, то есть, S Mz = 0, то момент импульса тела (или системы тел) относительно той же оси сохраняется: Lz = Iw = const. Это частный случай закона сохранения момента импульса. Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения: I = S miR 2 i.
Поскольку масса твердого тела распределена непрерывно, сумму следует заменить на интеграл. Тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm = rdV. Таким образом, I = ò R 2 dm = ò R 2 rdV, (1.3.50) где R – расстояние от элемента dV до оси вращения.
Пример 17. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно ему.
l /2 dm x O C dx
ось Решение. Ось, относительно которой нужно рассчитать момент инерции, проходит через центр масс стержня (точку С), так как по условию задачи он однороден. Выделим элемент массы dm стержня и длины dx. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, найдем из выражения (1.3.50), учитывая, что dV = dx, так как по условию задачи стержень тонкий, а масса единицы объема (в нашем случае масса единицы длины) определяется выражением r = m / l: . Пример 18. Рассчитать момент инерции стержня (см. пример 17) относительно оси, проходящей через один из его концов (точку О). Решение. Согласно (1.3.50), . Моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс: Тонкого обруча: IC = mR 2; (1.3.51) Диска (цилиндра): IC = (1/2) mR 2; (1.3.52) Шара: IC = (2/5) mR 2. (1.3.53)
Если момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент инерции относительно любой параллельной ей оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс по теореме Штейнера: * Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: I 0 = IC + md 2. (1.3.54)
Пример 19. Рассчитать момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через его конец (точку О), используя теорему Штейнера. Решение. Момент инерции стержня относительно центра масс, согласно примеру 17, равно IC = ml 2/12. Расстояние между осями d составляет d =l /2. По теореме Штейнера (1.3.54) имеем: I 0 = IC + m (l /2)2 = ml 2/12 + ml 2/4 = ml 2/3.
Пример 20. Тонкий однородный стержень массы 1 кг и длиной 1 м вращается в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают под углом 30° к горизонту и отпускают без толчка. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени. Ускорение свободного паления считать равным 10 м/с2. Дано: m = 1 кг; l = 1 м; a = 30°; g = 10 м/с2. Найти: e. Решение. А В
a r C
Введем следующие обозначения: АС = l, АВ = ВС = l /2, плечо силы тяжести (она действует на центр масс однородного стержня, находящегося в точке В, посередине стержня) r = (l /2) cosa. Тогда, используя основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), запишем: M = Ie, откуда e = M / I. (1.3.55) Найдем момент силы тяжести М из (8.3): М = mg = (mglcosa)/2. (1.3.56) Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, мы рассчитали в примере 18: , поэтому, подставляя полученные выражения для момента инерции и момента сил (1.3.56) в (1.3.55), получим окончательно: e = M / I = (3 mglcosa)/(2 ml 2) = (3gcosa)/(2 l) = 13 (рад/с2). Ответ: 13 рад/с2.
Пример 21. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно этой оси зависит от времени по закону L (t) = At 2 + Bt + C. Через 0,5 секунд после начала вращения тело имело угловое ускорение 2 рад/с2. Найти зависимость момента инерции тела от времени и его величину через 0,5 секунд после начала вращения. А = 1 кг×м2/с3, В = 2 кг×м2/с2, С = 1 кг×м2/с. Дано: L (t) = At 2 + Bt + C; t = 0,5 с; e = 2 рад/с2; А = 1 кг×м2/с3, В = 2 кг×м2/с2, С = 1 кг×м2/с. Найти: I (t), I. Решение. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), откуда выразим момент инерции: . Чтобы рассчитать момент инерции тела в момент времени 0,5 с, подставим в полученное выражение значения углового ускорения и коэффициентов А и В: I = (1/2)×(2×1×0,5 + 2) = 1,5 (кг×м2). Ответ: I (t) = ; I = 1,5 кг×м2. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |