Решение в численном виде — функция fsolve

Для получения численного решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений в формате вещественных чисел удобно использовать функцию

fsolve(eqns, vars, options)

Эта функция может быть использована со следующими параметрами:

complex — находит один или все корни полинома в комплексной форме; fulldigits — задает вычисления для полного числа цифр, заданного функцией Digits;

maxsols=n — задает нахождение только n корней;

interval — задается в виде а..b или х=а..b или {x=a..b, y=c..d, …} и обеспечивает поиск корней в указанном интервале.

Функция fsolve дает решения сразу в форме вещественных или комплексных чисел, что и показывают следующие примеры (файл fsolve):

> fsolve(sin(х)=Pi/4,х);

.9033391108

> fsolve(sin(х)=1/2,х=4..8);

6.806784083

> fsolve(2*х^2+х-1=10,x);

-2.608495283, 2.108495283

> fsolve(х^5-х,x);

-1., 0., 1.000000000

> fsolve(х^5-х,x,complex);

-1.000000000, -1.000000000 I, 0., 1.000000000 I, 1.000000000

> eqns:= abs(x)*x+exp(x) > 0;

eqns:= 0 <|x|x +e^x

> solve(eqns, {x});

{-2 LambertW(½)<x}

> f:= sin(x+y) — exp(x)*y = 0: g:= x^2 - у = 2:

fsolve{{f,g},{x,y},{x=-1..1,y=-2..0});

{x = -.6687012050, у = -1.552838968}

Заметим, что локализация поиска корней в заданном интервале позволяет отыскивать такие решения, которые не удается получить с помощью функций solve и fsolve в обычном применении. В последнем из приведенных примеров дается решение системы нелинейных уравнений, представленных уравнениями f и g.

Чтобы еще раз показать различие между функциями solve и fsolve, рассмотрим пример решения с их помощью одного и того же уравнения erf(x) = 1/2:

> solve(erf(х)=1/2,х);

RootOf(2 erf(_Z) -1)

> fsolve(erf(x)=1/2);

.4769362762

Функция solve в этом случае находит нетривиальное решение в комплексной форме через функцию RootOf, тогда как функция fsolve наводит обычное приближенное решение.

Мы уже отмечали, что функция solve дает решение уравнения ехр(-х) = х в форме специальной функции Ламберта. Нетрудно заметить, что функция fsolve дает результат сразу в форме числа с плавающей точкой:

> restart;eq:=exp(-х)=х;sol:=fsolve(ехр(-х)=х,х);

eq: = e^(-x) = х sol: =0.5671432904

Решение функциональных, рекуррентных и др. уравнений. Функция RootOf.

Функция RootOf

В решениях уравнений нередко появляется функция RootOf, означающая, что корни нельзя выразить в радикалах. Эта функция применяется и самостоятельно в виде RootOf(expr) или RootOf(expr, х), где expr — алгебраическое выражение или равенство, х — имя переменной, относительно которой ищется решение. Если переменная х не указана, ищется универсальное решение по переменной _Z. Когда expr задано не в виде равенства, решается уравнение expr=0. Для получения решений вида RootOf в явном виде может использоваться функция allvalues.

Примеры применения функции RootOf (файл RootOf):

> RootOf(х^2+1=0,х);

RootOf (_Z² + 1)

> allvalues(%);

I, -I

> RootOf(а*b^2+а/b,b);

RootOf(_Z³ + 1)

> allvalues(%);

-1, ½ +½I√3, ½-½I√3

> RootOf(x^3-1,x) mod 7;

RootOf(_Z³ + 6)

> allvalues(%);

-6^(1/3), ½6^(1/3) - ½I√3 6^(1/3), ½6^(1/3) + ½I√3 6^(1/3)

> evalf(%);

-1.817120593,.9085602965-1.573672596 I,.908560296+1.573672596 I

> RootOf(х^2-2*х+1,х) mod 5;

Итак, функция RootOf является эффективным способом представления решения в компактном виде. Как уже отмечалось, наряду с самостоятельным применением она часто встречается в составе результатов решения нелинейных уравнений.

Поиск по сайту: