|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Непрерывность функции, точки разрываНаиболее важным классом функций является класс непрерывных функций. Можно считать функцию непрерывной в точке , если в этой точке отсутствует разрыв функции. Что же это такое – разрыв функции? Рассмотрим несколько примеров. Пример 5. Точка устранимого разрыва
Пример 6. Точка неустранимого разрыва 1-го рода
Пример 7. Точка разрыва 2-го рода
Итак, можно сделать вывод: · Точка является точкой непрерывности функции , если существуют конечные пределы справа и слева и эти пределы равны значению функции в этой точке, т.е. . Если же хотя бы одно равенство нарушено, тогда точка является точкой разрыва функции. Существует равносильное определение непрерывности функции в точке. · Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и существует конечный предел, равный значению функции в данной точке, т.е. . При исследовании функции на непрерывность в точке нужно проверить выполнение следующих условий: 1) функция определена в точке , т.е. существует; 2) существуют равные между собой конечные односторонние пределы ; 3) односторонние пределы равны - значению функции в точке , т.е. выполняется равенство . Если хотя бы одно из условий 1 – 3 не выполнено, то точка есть точка разрыва функции . Непрерывные в точке функции имеют важные свойства. 1. Если функции и непрерывны в точке, то их алгебраическая сумма, произведение и частное тоже непрерывны в этой точке. 2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу: . Это значит, что для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. Элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство . Отсюда следует: 1) точками разрыва элементарной функции являются те точки, в которых она не определена; 2) функция, не являющаяся элементарной, может иметь точки разрыва как в точках, в которых она не определена, так и в точках, в которых определена. В частности, если функция задана несколькими аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то она может иметь разрывы в точках, где меняется ее аналитическое выражение. Для сложной функции справедливо: Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывная в точке , то сложная функция непрерывна в точке , т.е. . Последняя формула показывает, что, с одной стороны, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции (правое равенство), а с другой стороны, дает правило замены переменной при вычислении пределов непрерывных функций (левое равенство). Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |