Непрерывность функции, точки разрыва

Наиболее важным классом функций является класс непрерывных функций.

Можно считать функцию непрерывной в точке , если в этой точке отсутствует разрыв функции.

Что же это такое – разрыв функции? Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Точка устранимого разрыва

Функция имеет конечный предел справа и конечный предел слева . Эти пределы равны, но значение функции в точке не существует (эта точка на кривой «выколота»). Эту точку можно в кривую «вставить». Точка называется точкой устранимого разрыва

Пример 6. Точка неустранимого разрыва 1-го рода

Конечные пределы функции в точке и справа, и слева существует, но они не равны. Функция в этой точке делает «скачок», равный . Точка называется точкой разрыва 1-го рода.

Пример 7. Точка разрыва 2-го рода

Функция не имеет конечных пределов ни справа, ни слева (а может быть, только с одной стороны). Точка называется точкой разрыва 2-го рода.

Итак, можно сделать вывод:

· Точка является точкой непрерывности функции , если существуют конечные пределы справа и слева и эти пределы равны значению функции в этой точке, т.е.

.

Если же хотя бы одно равенство нарушено, тогда точка является точкой разрыва функции.

Существует равносильное определение непрерывности функции в точке.

· Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и существует конечный предел, равный значению функции в данной точке, т.е. .

При исследовании функции на непрерывность в точке нужно проверить выполнение следующих условий:

1) функция определена в точке , т.е. существует;

2) существуют равные между собой конечные односторонние пределы ;

3) односторонние пределы равны - значению функции в точке , т.е. выполняется равенство .

Если хотя бы одно из условий 1 – 3 не выполнено, то точка есть точка разрыва функции .

Непрерывные в точке функции имеют важные свойства.

1. Если функции и непрерывны в точке, то их алгебраическая сумма, произведение и частное тоже непрерывны в этой точке.

2. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу: .

Это значит, что для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство

.

Отсюда следует:

1) точками разрыва элементарной функции являются те точки, в которых она не определена;

2) функция, не являющаяся элементарной, может иметь точки разрыва как в точках, в которых она не определена, так и в точках, в которых определена.

В частности, если функция задана несколькими аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то она может иметь разрывы в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

Для сложной функции справедливо:

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывная в точке , то сложная функция непрерывна в точке , т.е.

.

Последняя формула показывает, что, с одной стороны, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции (правое равенство), а с другой стороны, дает правило замены переменной при вычислении пределов непрерывных функций (левое равенство).

Поиск по сайту: