Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть - функция с областью определения , причем - некоторое число.

v Число называется пределом функции при стремящемся к , если в области определения функции для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Предел функции в точке обозначается .

Таким образом, число называется пределом функции в точке , если значения функции неограниченно приближаются к числу , при всех значениях , достаточно близких к .

В некоторых случаях рассматривают односторонние пределы функции:

· если (то есть справа, оставаясь больше ), значения функции неограниченно приближаются к числу , то число называют правосторонним пределом функции в точке и обозначают

;

· если (то есть слева, оставаясь меньше ), значения функции неограниченно приближаются к числу , то число называют левосторонним пределом функции в точке и обозначают

.

Определение этих пределов отличается от определения предела функции тем, что дополнительно требуется (или соответственно).

Какова связь между пределом функции и односторонними пределами?

Теорема (критерий существования предела)

Функция имеет в точке предел, равный , тогда и только тогда, когда:

1) существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке ;

2) односторонние пределы равны между собой и равны числу , т.е.

.

Если область определения функции содержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения , то в этом случае можно рассматривать предел функции на бесконечности.

v Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу : .

Таким образом, число называется пределом функции при , если значения функции неограниченно приближаются к числу (то есть ), когда аргумент , изменяясь, принимает значения, сколь угодно большие по абсолютной величине.